Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вергелес С.Н. -> "Лекции по теории гравитации " -> 77

Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.

Вергелес С.Н. Лекции по теории гравитации — М.: МФТИ, 2001. — 428 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriigravitacii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 123 >> Следующая


ujk = Am2 + к2 , ^k = ф*_k . (26.71')

Поэтому сначала вычислим явно амплитуду перехода для одномерного гармонического осциллятора с вещественной координатой q и действием

S = J dt jl^-i^V + ^ j (26.72)

за конечный интервал времени (t', t") из состояния с координатой q' в состояние с координатой q". Это означает, что в функциональном интеграле вычисление идет с граничными условиями (26.12). При вычислении интеграла (26.21) удобно сдвинуть переменную интегрирования следующим образом:

q(t) = q(t) + Sq(t) ,

275 q{t) = qo(t) + J dhV{t,tj) r,{u), (26.73)

q0(t') = q', qo(t") = q", 5q(t') = Sq(t") = 0,

q+uj2q = T], ?o +u2q0 = 0. (26.74)

Функциональное интегрирование ведется по переменным Sq(t). Из (26.12) и (26.74) следует, что

^+ш2^ V(t, I1) = S(t - fi), V(t', U) = V(t", fa) = 0 . (26.75)

Условия (26.75) однозначно определяют функцию Грина: V{t1,h) = Ve{ii-h) -

-^l—.[Ve(t"-h) sin (ujih-t'^+Vcit'-h) sin И*"-*!))], (26.76)

Sill Lul

где T = t"-t' и dk

V1

/Al, „-lft(t-ti) •

~ * 2 - = f e^l'-M, е —^ +0 (26.77)

27Г — kz + LOz — гє 2lo

есть причинная Гриновская функция, которая удовлетворяет первому из уравнений (26.75). Решение для <?о(^) легко находится:

qo® = ^F зшИ< - + ііІг 8ІпИ<" -<)] • (26J8)

Запишем действие в новых обозначениях. Опуская простые вычисления, приведем результат:

S = S0 + ? dt (^Sq2 -l^-Sq2

So = [ (?'2 + q"2 ] COS шТ ~ 2q'Ч"] + s^ '

S(V)=Jti dtv(t)qo(t) + l J dt1dhV(t1)V(t1,t2)T](t2)- (26.79)

Здесь So не зависит от переменных интегрирования Sq, причем Sq(t') = Sq(t") = 0. Поэтому функциональное интегрирование в

276 (26.21) с действием (26.79) приводит лишь к появлению множителя, зависящего от Т, но не от q', q", г). Этот временной множитель далее нами не используется, однако мы приведем точный ответ:

(q",t" | ?',<') =

и

exp ( ^ S0

27Г ih sin LuT

Ti

п=О

OO

(26.80)

Первый множитель в фигурных скобках является амлитудой перехода при нулевом источнике, причем { 4>n{q) } - полный набор нормированных собственных функций гамильтониана. Теперь в амплитуде (26.80) перейдем к пределу T —> оо. Заметим, что этот предельный переход означает, что ставится задача об отыскании S-матрицы. При этом считается, что внешний источник T](t) —> О при I* I оо и t" = -t' = Т/2.

Второе слагаемое в правой части (26.76) записывается в виде

В пределе T-j-oo последнее выражение можно отбросить как содержащее бесконечно быстро осциллирующие множители. Поэтому в указанном пределе So задается согласно (26.79), где вместо V{t\, t2) следует подставить Vc{t\ — t2) из (26.77). Множитель в фигуроной скобке в (26.80) можно опустить, поскольку он не играет роли в теории S-матрицы.

Вернемся к теории поля (26.71). Из приведенных формул ясно, что при вычислении S-матрицы функциональный интеграл в теории (26.71) приводит к следующему результату (і" —> +оо, і' —> —оо):

OO

— ехр(—2inuiT) [ехр(—iuiT) cos(w(^i +<2))

ul —^

п=О

-ехр(-2гшТ) cos И*! -<2))]-

(ЛЛ-^"1

ехр

J d4x d4y 7](х) Vc{x - у) 7]{у) j

277 [ d^k e~ikx c(X] ~ J (2тг)4 -F + n

d3fc exp [ikx — tWfc I X0 I ]

W? 2Uk '

(0,0"+m2) Ve(x)=6^(x), фо(х) = ф'0{х) + ф%, d3k 1

m2 — is

I

к X = ku

Xr

ikx — IUiitX

Здесь a(k) - комплексные числа, являющиеся классическими аналогами операторов уничтожения, и а* (к) - их комплексно-сопряженные. Причина, по которой начальное состояние зависит лишь от поля ф', а конечное - от поля ф", заключается в следующем. Согласно (26.81) причинная гриновская функция получается путем добавления к квадрату массы бесконечно малой отрицательной мнимой части. С учетом этого уравнение, которому удовлетворяет поле фа, также модифицируется соответствующим образом:

(OflOli + т2-іє)фо = 0.

Отсюда вытекает, что в (26.81)

шк = \/m2 + к2 — і е,

и

ф'0(х) —> 0 , і —> +оо ,

ф%{х) —> О , * —* -оо .

Обратим внимание на то, что показатель экспоненты в (26.81) является лоренц-инвариантной величиной.

Формулы (26.71) и (26.81) являются основой для построения S-матрицы в любой теории поля, включая теорию гравитации.

278 26.5. Математический смысл меры в функциональном интеграле амплитуды перехода

Необходимо пояснить причину, по которой мера (26.66) содержит функционал, зависящий от метрического тензора.

Запишем этот множитель в следующем виде:

П /0W (-0(z))~3/2 = exp{J4(0) [ d'x\n[g00(x)(-g(x)r3^]}. і ¦!

(26.82)

В (26.82) в экспоненте перед интегралом имеется сингулярный множитель ^4(O) = SA(x)\x=o, который обезразмеривает интеграл. Интуитивный смысл этого множителя состоит в том, что J4(O) является "плотностью" точек в пространстве-времени.

Из (26.82) видно, что мера (26.66) содержит расходимость. Можно показать, что эта расходимость сокращается с другой расходимостью, возникающей при вычислении интеграла (26.69) вследствие того, что экспонента в (26.69) содержит член вида

г- J d'x І 1AT (x) (dx ) (dr gP„ ), (26.83)

причем Kltvpa 'Хт[x] является функционалом от Именно

по той причине, что Kltvpa IАт (ж) зависит от метрического тензора, мера (26.66) оказывается нетривиальной. Однако обозначенная расходимость в интеграле (26.69) взаимно сокращается с расходимостью, содержащейся в мере этого интеграла.
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed