Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ш дф{
- + Vi1J- = O, j = l, ...,т. 26.31
dPj dpj
При помощи этих равенств получаем следующие соотношения:
^f І дфі А дфі dPj I
Vі dq* dpi dq* )- M dq* f^ Opj dq* J ~ '
Ef дфі_ _ dn др^\ А j дфі А дфі dpj \ І=1 dp* dpi dp* J ~ Vi \ dp* jri Opj dp* J
(26.32)
Последние равенства в (26.32) вытекают из (26.27), (26.28). Из (26.32) следует, что уравнения
ґдП дфі
р =-[w+Viw*
I-..( OIL
P dq* \dq* + dpi dq* совпадают (соответствующие уравнения для переменных q* не выписываются). Таким образом, утверждение об эквивалентности систем Г и Г* доказано.
Система Г может быть проквантована в переменных { р*, q* }, в которых она является невырожденной. Тогда квантовый оператор эволюции задается континуальным интегралом (см. (26.15)):
(q*",t"\q*',t'} =
dp*{t)dq*(t)
= /ехр|Ц {p*q*-U*{p\q*))dtyXl
2тгЙ
(26.33)
В тех случаях, когда связи нелегко разрешить или это делать нецелесообразно, требуется представить оператор эволюции непосредственно в терминах обобщенной системы Г. Убедимся, что континуальный интеграл
У ехр {I Jlpq
Щр, q)-viфi{p, q) ] dt
264
t і
2тг h
34)
совпадает с интегралом (26.33). Для этого проинтегрируем (26.34) по V , в результате чего он принимает вид
•П IP(Xi)WO det I [^'XjI I
dt
t і
dpa dqa 2тг ft
(26.35)
Мера в интеграле (26.35) инвариантна относительно канонических преобразований переменных интегрирования. Будем считать, что он вычисляется в переменных (26.24), (26,25), в которых
ППадад det I [фк, xj] I =
t і
t і
nn^HWdet =1111^)%-^'"')]
t і
Теперь очевидно, что после интегрирования по переменным pi, q' с і = 1, ..., ти интеграл (26.35) сводится к (26.33).
26.3. Квантование гравитации
при помощи функционального интеграла
Рассмотрим случай чистой гравитации, когда действие задается согласно (24.48) и применим формализм, разработанный в § 24 и § 26.
В рассматриваемом случае "H= 0 и 'Нт является линейной комбинацией связей первого рода (см. (24.58)). Поэтому для представления амплитуды перехода в форме функционального интеграла следует воспользоваться формулой (26.34) или (26.35).
Ввиду того, что фазовое пространство системы име-
ет "континуально большую" размерность, возникают дополнительные трудности. Одни из этих трудностей заключаются в том, что
265 функциональный интеграл должен быть калибровочно инвариантен. В частности, мера интегрирования в функциональном интеграле должна быть калибровочно инвариантна. Напомним, что согласно § 24 калибровочные преобразования в рассматриваемой теории есть общековариантные преобразования, которые генерируются полным гамильтонианом %т- Иными словами, решение уравнений Гамильтона трактуется как калибровочное преобразование. Однако, как известно, эволюция фазового пространства согласно уравнениям Гамильтона является также каноническим преобразованием, которое по теореме Лиувилля сохраняет каноническую меру в фазовом пространстве. Поэтому мера
«fco=п п п Tngijit'х) (2б-зб)
t X i<j
является калибровочно инвариантной. В (26.36) происходит внешнее умножение всех дифференциалов. Мера (26.36) играет роль ме-
ры Пі Па dPc(t)dqa(t) в (26.34).
Поля NliI = (N, Ni) являются компонентами 4-вектора в базисе, в котором метрический тензор имеет вид (24.5). Введем триады согласно формуле
з
= -?«?«;> е? ei=5I- (26-37)
CX = I
Тогда поля
Па = (N, Па), Па=е{а Ni (26.38)
являются компонентами 4-вектора в некоем ортонормальном базисе. Именно поля na(t, ж) являются аналогом полей V{(t) в (26.34). Действительно, мера
dv = П П dn^t' х) Л dn^t'Л dn^t' х) Л dN^> х) (26.39)
{ X
инвариантна по отношению как общекоординатных преобразований, так и локальных лоренц-преобразований тетрады.
Предположим, что триада (26.37) зависит лишь от шести независимых параметров в каждой точке (t,x). Отсюда следует, что в каждой точке х справедливо соотношение
dgn Л dgn Л ... Л dg33 Л de'a = 0,
266 откуда в каждой точке х получаем
dpi = dfi0 Л JJ dni(x) Л dn2(x) Л dna(x) Л dN(x) ¦
= d?0 Л JJ (det е'а(ж)) dNi{x) Л cW2(a:) Л dN3(x) Л сШ(ж).
x
Здесь и далее под а; понимается произвольная точка пространства-времени. При помощи (25.1) легко получить, что
^y П = ЦWgij(X)) Л Д(ЛЛВД) Л dN(x) .
* р<и i<j і
Отсюда и из равенств (det е'а) = (-3^)-1''2 и (24.47) получаем (с точностью до числового множителя):
d?i = JJ(^aO)"172 Y[(^(x)) Л JJ (Adgliu(X)), д = det .
X i<j p<v
(26.40)
По построению мера (26.40) инвариантна относительно калибровочных преобразований. Мера (26.40) играет роль функциональной меры в интеграле (26.34).
Теперь с учетом (24.58) амплитуда перехода (26.34) записывается в виде
\g'ij,t') = i У ехр I ^ j dt j d3x TTij gij - Пт }• •det І Щь(у), X°(z)]\ Ijn%aW)^ ' (26"41)
x a
Здесь и далее N~l есть нормировочный множитель, и ^a(х), а = = 0, 1, 2, 3 - четыре условия (в каждой точке ж), фиксирующие калибровку, взятые в некоем ортонормированном базисе. Заметим, что в качестве фактора
expj-- J dt Уіфі(р, q) имеющегося в (26.34), в интеграле (26.41) содержится фактор expj-І j dtnT).
