Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
267 Таким образом, показатель экспоненты в (26.34) является действием системы в канонических переменных, откуда вытекает калибровочная инвариантность показателя экспоненты в (26.41).
Для дальнейшего продвижения необходимо рассмотреть отдельно интегрирование по калибровочным степеням свободы, которых имеется четыре в каждой точке пространства-времени. Калибровочные степени свободы описываются множеством четырех независимых функций, каждая из которых зависит от четырех независимых параметров. Эти функции задают общие преобразования координат пространства-времени. Будем обозначать их /" (х). В данном случае удобна аддитивная запись калибровочного преобразования:
*? = «" + /"(*). (26.42)
Для композиции преобразований имеем
4 = + Zf(Zl) = + /"(*) + f?(x + f(x)) = + /?(*) .
Отсюда
ш = (Л X /)"(*) = Г (х) + f?(x + f(x)). (26.43)
Предположим, что функции /" малы, финитны и медленно меняются. Тогда (26.43) переписывается в виде
/?(*) = /"(*) + f?(x) + fx(x) дхії(х). (26.44)
Определим якобиан
= = JW (X - у) (J? + Sv /Г (г)) (26.45)
и вычислим его детерминант, воспользовавшись известной формулой det A = eln det A=etrlnA. (26.46)
В нашем случае
A = 1 + є, є 0 => InA = е. Поэтому из (26.45) и (26.46) следует, что
det ^M= exp j J4(O) J d*xdxft(x)} = l. (26.47)
268 Аналогично доказывается в предположении / —> 0 равенство
delWM = 1- (26-4Г)
Предположим, что на группе калибровочных преобразований G существует лево- и правоинвариантная мера d?G. Это предположение использовалось в ряде основополагающих работ по квантовой теории гравитации (см. [27] и ссылки там).
Предположение о существовании инвариантной меры dfiG может быть оправдано следующим образом.
Определим элемент объема группы G в точке / = O как
d?G{f} = HiAdF (х)е;(х)). (26.48)
х, а
Сделаем в (26.42) замену —> F+df" и затем положим = 0. Тогда равенство (26.42) переписывается в виде
dx»{x) = dF{x), dx?(x)=x?1- x? .
Отсюда видно, что 1-формы df^ (х) в пространстве калибровочной группы преобразуются при общих преобразованиях координат в пространстве-времени как векторные поля. Поэтому 1-формы dx?(x) ¦е^(х) в пространстве калибровочной группы являются скалярными полями относительно общих преобразований координат. Тем самым устанавливается инвариантность элемента объема (26.48) калибровочной группы относительно левых сдвигов на этой группе. Инвариантность элемента объема (26.48) относительно правых сдвигов на калибровочной группе также имеет место, поскольку при правых сдвигах мы рассматриваем координаты ж" как функции координат Xli : x?(x). При этом произведение в (26.48) берется по тем же точкам, что может привести лишь к изменению знака вследствие перестановки сомножителей. Таким образом, мы имеем
d?G{fh} = d?G{f} = d?G{hf}. (26.49)
Вследствие равенства единице якобиана (26.47) имеем
dpo{ hf} = ( 1 + 0{h2)) d(iG{ f } = d?G{ fh } . (26.50)
269 Из (26.48) и (26.50) видно, что
dpG{f] = (1 + 0(f)) П ч/=^) 4Г(х) =
X1 р
= (1 + 0(/2)) П df(x), dfa = el df" . (26.51)
Xt а
Таким образом, при / —> 0 можно считать, что
d?aif } = П \ШЇ*) #"(*) = П ' d^ = eI V ¦
X, (і х,а
(26.51')
Соотношения (26.49) и (26.51) играют важнейшую роль в калибровочных теориях, позволяя применять так называемый трюк Фаддеева-Попова [28], при помощи которого вычисления существенно упрощаются и продвигаются.
Заметим, что двусторонне инвариантная мера на калибровочной группе здесь определена лишь для метризованных г-пространств. Действительно, в определение (26.48) входит поле тетрады.
Будем считать, что калибровочные условия Ха накладывают ограничения на метрический тензор и поэтому совокупность калибровочных условий обозначим
х,а
Определим функционал Jx {д } при помощи следующего равенства:
Jxiff } / 6(x(gf))dpG{f} = l. (26.52)
Jg
Через gt обозначается метрический тензор, полученный из g?U при помощи калибровочного преобразования (12.14).
Функционал Jx {д} калибровочно инвариантен. Действительно, вследствие (26.49)
Jx{gh}= [ 5(X(g'h)) dpa{f} = Jg
= / 5(x(9ik))dpG{fh} = Jx{g}. (26.53)
Jg
270 Введем обозначение
Щ/} = J ^Xfa(X)-Ha(X). (26.54)
Согласно результатам § 24 H { f } осуществляет калибровочные преобразования полей, соответствующие преобразованиям координат (26.42):
хй')=х{д) + [ЩП,хШ, 9ІГ =9?u -VmU -Vufll. (26.55)
Рассмотрим формулы (26.55) в точке дх, в которой
х(дх) = 0. (26.56)
Тогда при достаточно малых f уравнения
X(gfx) = 0 (26.57)
имеют единственное решение / = 0. Именно такая ситуация предполагается в теории возмущений. В этом случае из формул (26.51'), (26.52), (26.55) непосредственно следует, что
^хІ9] = det I [Нь(у), Xc(z) ] I • (26.58)
В дальнейшем мы будем использовать калибровочное условие
ха(д) = е" Ma/=^"") = ^ х"(д) ¦ (26.59)
Согласно (14.4) это калибровочное условие означает условие гармоничности координат. Представим J(x(<?)) в форме функционального интеграла:
%Ы) = / ехр {і J d'x T1a ха(д) } П ¦ (26-6°)
