Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Xi CXt
Ui<y*
где
G = (xf — 2 QXxyx + y{) + {x\ — 2 ex2y2 + y\) +
+ (*» — + уЪ)>
"V1 niktii n _ Wl “Ь ^“Ь w2 1 vz-\- 20U3W4 -I- U4 , Wb-l- 2gw6we -j- uq
Z 9 utuk ------------J—gl h — •
Инварианты имеют значения
(»«) = r^i. * M = Г-~ё •
Следовательно,
РГ6 = arc cos , — i-^L- -- = J - arc cos ^ . (30)
2я У (мм) V(w) 251 2
Точно такое же значение имеет вероятность РГ6 одновременного осуществления событий хх > х2 и ух > у3. Вероятности
W1 и WB остальных ДЕух возможных случаев равны
W1 = Ws = arc cos .
392
Гл. XIII. Корреляция
Поэтому
€(*12^13) = (^5 + ТГ6) • 1 + (W7 + Т78) (— 1) = ~arc sin . (31)
Различие Между п/(п + 1) и 1 совсем незначительно, поэтому приближение (33) можно применять и для умеренно больших значений п. Если (33) разрешить относительно д, то получим
Это означает, что при больших п выражение 2 sin {жВ/6) можно использовать в качестве оценки для истинного коэффициента корреляции д.
Все это справедливо лишь в предположении, что совместное распределение х и у является нормальным. Если такое предположение не выполняется, то В всегда можно истолковать как оценку для «истинного коэффициента ранговой корреляции» который определяется так. Пусть F(x) и G(y) — непрерывные функции распределения случайных величин хну. Положим1
Тогда случайные величины f и 77 будут распределены равномерно между нулем и единицей, поэтому их дисперсии равны
Если (29) и (31) подставить в (23), то получим
(32)
При больших п из (32) следует, что
Ъ 6 • в
В ~ - arc sin
uj \j 31.LJ. •• .
71 2.
(33)
При не очень больших п значение В несколько меньше, чем правая часть (33), так как, в силу неравенств
2 arc sin < arc sin д < 3 arc sin ^ ,
L 2
71 U fj U p
-j—f arc sin ^ < H < • arc sin
T 1 2 71 2
g ~ 2 sin B.
(34)
? = F(x), 77 = G{y).
1Cm. Kendall M. G., Rank correlation methods 9.7; 10.6. Величины
? и т] Кендалл называет „рангами11.
§ 70. Коэффициент ранговой корреляции R, по Спирмену
393
Истинный коэффициент ранговой корреляции (^определяется как истинный коэффициент корреляции случайных величин ? и у.
?R=12S(e—‘-)(ч-г). (35)
Если совместное распределение хну является нормальным, то между д и существует соотношение, аналогичное (34),
е = 2 sin (36)
Это соотношение было найдено Карлом Пирсоном (см. Draper’s Company Research Memoirs, Biometric Series IV, Cambridge 1907, 13).
Пример 50 (Pearson Karl, Biometrika, 13, 304). На экзаменах, которым подвергались 27 кандидатов на должность в службе связи, была принята следующая система оценок: по арифметике — от 1 до 300 баллов, по остальным четырем предметам (орфография, чистописание, география и сочинение на английском языке) — от 1 до 200 баллов. Оценки, полученные каждым кандидатом, складывались и всем кандидатам приписывались порядковые номера в соответствии с убыванием сумм оценок. В следующей таблице на
первом месте указаны порядковые номера и общие суммы оценок по всем
предметам, а на втором месте — оценки по арифметике и соответствующие им порядковые номера.
Пирсон нашел, что в данном случае коэффициент ранговой корреляции имеет значение
R = 0,8834.
Все предметы Арифметика Все предметы Арифметика
номер оценка номер оценка номер оценка номер 1 оценка
1 907 1 230 15 580 13 131
2 764 9 158 16 561 15 ; 128
3 748 2 228 17 560 18 116
4 746 10 154 18 532 22 82
5 724 8 162 19 529 16 125
6 718 5 182 20 526 17 : 122
7 710 14 129 21 515 19 114
8 703 7 164 22 484 21 93
9 677 3 187 23 463 25 ; 61
10 665 4 186 24 444 26 38
11 645 11 151 25 386 27 ! 37
12 643 6 167 26 369 23 ! 63
13 634 20 103 27 288 24 62
