Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если вычислить высшие моменты g В"к, то окажется, что все они, после умножения на (п—l)'1', при и —> оо стремятся к соответствующим моментам нормального распределения1 с нулевым средним значением и единичной дисперсией, а именно,к
йт • <|3>
Согласно «второй предельной теореме» (§ 24 Е), отсюда следует, что функция распределения В^п — 1 при и —> оо стремится к функции нормального распределения с нулевым средним значением и единичной дисперсией, т. е. случайная величина В распределена асимптотически нормально с нулевым средним значением и дисперсией сг2 = 1 /(п— 1).
Если при проверке независимости действовать так, как если бы В была нормально распределенной случайной величиной, то надежность выводов лишь увеличится. Действительно, как мы только что видели, большим отклонениям Лот нуля соответствует.
1 См. Kendall М. G., Rank Correlation Methods, p. 61.
§ 70. Коэффициент ранговой корреляции JR, по Спирмену 387
на самом деле, несколько меньшая вероятность, чем при нормальном распределении. Отсюда получаем следующий простой критерий зависимости:
Если значение коэффициента ранговой корреляции R (или, в случае двустороннего критерия, значение \ R \) окажется больше, чем
Ч'(1 —Р)
п— 1
то гипотезу независимости качественных признаков следует отвергнуть.
Истинный уровень значимости одностороннего критерия < (3, двустороннего критерия ¦< 2/3.
г. СРАВНЕНИЕ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ СТЬЮДЕНТА
Кендалл заметил, что распределение с плотностью вероятности
№ = ,i 1—г(1 -дг)" <15>
в\—,------1
12 2 J
аппроксимирует распределение случайной величины R несколько лучше, чем нормальное распределение. Функция Б(р, q) представляет собой бета-функцию, определенную в § 12 Д. Второй и четвертый моменты распределения с плотностью (15) задаются формулами
1
Мг —’
3
— п2 — 1 •
Следовательно, jи'2 в точности равен дисперсии коэффициента ранговой корреляции. Четвертый момент можно записать так:
= (и — l)2^ ^+т) ’
Если (16) сравнить с (11), то окажется, что несколько меньше (11). Таким образом, это приближение не увеличивает, а уменьшает надежность критерия.
Если вместо случайной величины R, подчиняющейся распределению с плотностью (15), вЕести новую случайную величину
<17>
25*
388
Г л. XIII. Корреляция
то точным распределением t будет являться распределение Стьюдента сп — 2 степенями свободы. Практически это означает, что по найденному значению коэффициента ранговой корреляции R можно вычислить t по формуле (17) и затем применить критерий Стьюдента. Правда, при этом истинный уровень значимости будет несколько больше, чем /3 или 2/3. Более простым и надежным является применение границы (14), основанной на нормальном приближении.
Выводы, полученные нами с помощью исследования вторых и четвертых моментов, можно непосредственно проверить в случае п = 8. Для границ получаем следующие значения:
Уровни значимости 2/3 = 0,01 2/3 = 0,02 2/3 = 0.05
Точные границы ...... 0,86 (0,007) 0,82 (0,015) 0,72 (0,046)
Нормальное прибли
жение ............ 0,97 (0,0004) 0,88 (0,007) 0,74 (0,036)
Стьюдентовское при
ближение .......... 0,83 (0,011) 0,79 (0,022) 0,71 (0,058)
Соответствующие этим границам истинные уровни значимости указаны в скобках. Из таблицы видно, что истинные уровни значимости границ, полученных с помощью стьюдентовского приближения, оказываются систематически слишком большими. С другой стороны, эти же уровни для границ, полученных с помощью нормального приближения, слишком малы. Можно бы было, например, в качестве границы выбрать арифметическое среднее, составленное из нормального и стьюдентовского приближений; вероятно, в этом случае надежность критерия должна всегда повышаться1.
При очень больших п безразлично, каким приближением пользоваться — нормальным или стьюдентовским.
1 С помощью небольшого усложнения формулы (14) можно нормальное приближение существенно улучшить. А именно, нужно воспользоваться уточненной асимптотической формулой
!Р(1 — в) ( 0,19 )
уэт_ 1 ( П — 1 )
Значения Rp, вычисленные по этой формуле при эт= 8 и 2/1 = 0,01; 0,02;
0,05, равны соответственно 0,87; 0,82 и 0,72. Таким образом, указанное приближение значительно лучше нормального и стьюдентовского. Вычисления с большим количеством знаков показывают, что приближенные границы больше точных, т. е. улучшенное приближение лишь увеличивает надежность критерия. — Прим. перев.
