Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
P и с. 37. Плотности распределения г при g =-0 и g = 0,8.
С помощью преобразования z можно решать следующие задачи.
1. Проверить, согласуется ли выборочный коэффициент корреляции г с предполагаемым значением теоретического коэффициента корреляции д?
2. Найти доверительные границы для q по наблюденному значению г.
3. Проверить, соответствуют два выборочных коэффициента корреляции гг и г2 одинаковым значениям g или нет?
4. Предполагается, что нескольким выборочным коэффициентам корреляции ги г2,. . . соответствуют одинаковые значения д. Требуется найти наилучшую оценку для д.
Пример 4S. По выборке, состоящей из 25 пар наблюдений, было найдено, что выборочный коэффициент корреляции равняется 0,60. В каких доверительных границах находится истинный коэффициент корреляции q, если предполагается, что наблюденные пары независимы и распределены •одинаково нормально?
382
Гл. XIII. Корреляция
По формуле (26) находим г = 0,693. Согласно (27), квадратичное отклонение г равно
о-, = —- =; 0,2132.
У'22
Следовательно, доверительными границами для г с уровнем значимости 0,05 будут
= 0,693 — 1,96 <гг = 0,275, г* - 0,693 + 1,96 <тг = 1,111.
Решая уравнение (26), находим г как функцию от г:
е2г — 1
е2* -)- 1
Таким образом, доверительные границы для q с уровнем значимости 0,05 равны
=--- 0.,268 и г2 — 0,804.
Пример 49. По выборке, состоящей из 20 пар наблюдений, было найдено, что г-j -- 0,6. В другой выборке, состоящей из 25 пар наблюдений, выборочный коэффициент корреляции оказался равным гг = 0,8. Значимо ли различие гг и г2?
Находим
Zj = 0,693, г2 = 1,099, d = z2 — Sj = 0,406.
Дисперсии Jj n rf равны
1 ........................ , 1
о-i — — — 0,0588, az = — — 0,0455, o-^ = о-i -j- o-2 = 0,1043.
Зная d и o-rf, найдем их отношение: d 0,406
o-j 0,323
= 1,26.
Так как 5%-ная граница для |d/o-</| равна 1,96, то различие гг и rt следует считать незначимым.
§ 70. Коэффициент ранговой корреляции Я, по Спирмену 383
§ 70. Коэффициент ранговой корреляции R, по Спирмену
А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Л
Отдельные индивидуумы могут обладать таким признаком, который хотя и не поддается точной количественной оценке, сднако позволяет сравнивать индивидуумы друг с другом. В результате всю совокупность индивидуумов удается упорядочить, приписав каждому из них порядковый номер. Такие признаки мы будем называть качественными признакйми. Примерами качественных признаков являются успеваемость школьников по определенному предмету, музыкальность, цвет волос. Если хотят проверить зависимость двух таких качественных признаков, то рассматривают выборку из п независимых индивидуумов и каждому индивидууму приписывают два порядковых номера, соответствующие двум данным признакам. Из этих порядковых номеров можно построить коэффициент ранговой корреляции.
Как обычно, мы будем приписывать порядковые номера в соответствии с убыванием качества: первый номер приписывается наилучшему индивидууму в данном классе и т. д.
Пусть п индивидуумам по двум сравниваемым признакам приписапы порядковые номера 1,2, ,..,п. Сначала, для того чтобы арифметическое среднее равнялось нулю, мы из этих номеров вычтем (п + 1)/2, а затем все результаты удвоим и обозначим их? (для первого качественного признака) и 17 (для второго качественного признака); f и 17 выражаются целыми числами. Такой порядковый номер индивидуума (f или 17) равен k— I, если по данному признаку этот индивидуум превосходит I других индивидуумов и при этом его самого превосходят к индивидуумов (к + I = п — 1).
Сумма квадратов порядковых номеров f или 17 равна
Q = 2V = = (л- О2 + (п-з)2 + . . . + (- п + \у =
п(п — 1) (п + 1)
= 3 ¦
Коэффициент ранговой корреляции R, по Спирмену, определяется формулой
(1)
Спирмен применял его для психологических исследований1. Обычно этот коэффициент обозначается буквой q, однако у нас эта буква имеет другое значение.
1 Spearmen С., The proof and measurement of association between two things, Amer. J. Psyhol., 15 (1904), 88.
384
Гл. XIII. Корреляция
Крайними значениями R снова являются +1 и — 1, причем значение + 1 достигается тогда, когда оба ряда порядковых номеров полностью совпадают (? — rj = 0), а значение —1 достигается тогда, когда оба ряда полностью противоположны ДРУГ Другу (? -f Г] = 0).
