Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(1)
2.71
следовательно, плотность совместного распределения пары (х, у) равна
f{x,y)=.^e-^0X' + K^Xm =
__У gh — [(» + W ')*1 - 2Я/ш/ l Лу1]
~ 2* 6 ( ’
Эту же плотность можно записать так:
— д- (ах1 — 2Ьху + hy’)
f(x, у) = С е 2 (3)
Средние значения хну выбраны равными нулю только для удобства. Если желательно рассматривать общий случай, то нужно х и у заменить разностями х — х и у — у.
376
Гл. XIII. Корреляция
Функцию вида (3) с отрицательной квадратичной формой в показателе степени называют плотностью двумерного нормального распределения. Такие распределения очень часто приближенно осуществляются в биологии, а именно, тогда, когда на основе неселектированного материала изучается наследственность определенных размеров тела.
Каждую плотность вида (3) можно представить выражением (2), т. е. у можно представить как сумму двух случайных величин, из которых первая (кх) пропорциональна х, а вторая (z) от х не зависит. Так как х и у совершенно равноправны,™ можно, конечно, наоборот, представить х в виде суммы линейного члена р.у и случайной величины г', не зависящей от у. Выбор одного из этих представлений зависит от той конкретной задачи, которую нужно решить.
Изменением масштабов на осях Ох и Оу всегда можно добиться, чтобы выполнялись равенства а = h = 1. Тогда Л = Ь и g = 1 — Ъг. В этом случае плотность распределения (3) задается лрсстой формулой
и \ 1 IЛ---гл ~ \ <*’ ~2Ьху + н’> /Л\
f(x, у) = 2^ П — Ъ е > (4)
которая в дальнейшем для нас будет являться основной.
Дисперсия х была равна
»5=НпЬ- (5)
Дисперсия у, конечно, имеет то же самое значение
= (6>
Ковариация х и у вычисляется так:
б *У = 6 х(^х + z) = A g х- + g xz =
= 66^ + 0=^. (7)
Поэтому истинный коэффициент корреляции равен
= = Ъ (8) е O-jcO-y
Таким образом, положив в (4) Ъ = q, мы могли бы написать
1 ,,------- % (*' - 2OXU + И*>
f(x,y)=±l[T-e* е 2 (9)
_____§ 69. Распределение выборочного коэффициента корреляции 377
Б. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ г ПРИ БОЛЬШИХ п
Пусть (х^уу), (х2, у2), . . ., (хп, уп) — независимые двумерные случайные величины, каждая кз которых подчиняется распределению с плотностью (9). Тогда совместная плотность распределения всей системы (х^ уи . . хп, уп) задается формулой
t(xl,yl)...t(xn,yn)=J^{\+«Ь (]0>
При этих предположениях и при тг оо выборочный коэффициент корреляции г распределен асимптотически нормально, Средне значение г асимптотически равно q, а его квадратичное отклонены асимптотически равно
1 _ л2
°- = г=т- (и>
\ п — 1
Доказательство будет очень простым. Сначала мы так же, как в § 67, с помощью ортогонального преобразования замеиим
хк и ук новыми переменными ик и vk таким образом, чтобы имели
место равенства щ — х^п и v1=^yVn. Тогда г будет задаваться формулой
Р _ ____M2^2 ~Ь • • • ~Ь UnVn__ (12)
Vn
Плотность распределения ик и vk имеет тот же вид, что и плотность (10):
*! ч н \ in ~ \~<u*_ 2s UkVt 1 /1‘i\
Цщ, »,)... f{un, vn) = (1 — e2)2 e 2 . (13)
Средние значения ul, v\ и uk ¦ vk равны
& ^ .
Следовательно, мы можем положить
378
Гл. XIII. Корреляция
Если (14) подставить в (12), то получим _ ____то + 2гк
(15)
где т = п — 1 и V рк, У дк, V гк представляют собой суммы т случайных величин, каждая из которых имеет среднее значение, равное нулю, и квадратичное отклонение порядка единицы. Таким образом, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, эти суммы при т —> оо являются величинами порядка fm, т. е. все они меньше т. Поэтому (15) можно разложить в ряд по степеням _У pjm, 2 Як/т и 2 гк/т:
Правая часть представляет собсй сумму большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены. Согласно центральной предельной теореме (§ 24 Г), эта сумма распределена асимптотически нормально. Среднее значение правей части (16) равно нулю, а дисперсия равна сумме дисперсий отдельных слагаемых. Вычислив эти дисперсии, найдем, что квадратичное отклонение выражается формулой (11).
