Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
= (а_ )^_ 2 ^ (Ц.60)
dt 2 \ N дХ2 К °'дх 1
в области Зр где
и уравнение
-4т*-> 0, (11-61)
дх
3St _ 1 ( k2t , J *St dSt, v2
+ x Г (й + Wo) ~~Z------1" X2 + kt
dt 2 V N /dx2 dx
(11.62)
в области За, где
-^-<0. (11.63)
dx
Как и в § 11.2, на обшей границе Г Элд областей Si и Н2 выполняются
условия непрерывности первой и второй производной:
-f4*r + 0) = 4f4*r-0); "тт-^г +0) = -^"(дсг-0).
dx dx dx2 dx2
Второе из этих условий является менее универсальным, оно справедливо
только потому, что по обе стороны границы имеются одинаковые штрафы и
одинаковый коэффициент диффузии. Из (11.61), (11.63) и из непрерывности
первой производной вытекает добавочное граничное условие
-ff-(*r) = 0. (11.64)
По аналогии с предыдущей задачей может быть рассмотрен стационарный режим
работы. Для этого нужно предположить существование пределов (11.37),
(11.38) и независимость первого из них от х. Для предельной функции / (х)
266
имеем теперь уравнение
^{^ + *)-Т7 + (а-и°'>-Т- + х' + к-'*==0 (1L65)
2 \ N J dx2 dx
j г
в 3,, где -- > 0, и уравнение dx
~(~ + ^)^ + (^ + ио)^ + х^ + к-у=-0 (11.66) 2 V Л/ J dx2 dx
в Еа, где < 0. При выводе этих уравнений учтено, что в
Av
dx
уравнении, аналогичном (11.39. а) в процессе предельного перехода b - t-
*oо дисперсия kt согласно (11.54) стремится к предельному значению k = kx
= yDN.
На границе хг справедливо условие
-*L(Xr)=o (11.67)
dx
(см. (11.64)).
В отличие от предыдущей задачи область достаточных координат является
теперь не интервалом, а неограниченной
прямой. Для доопределения функции (х) теперь вместо
(11.44) следует добавить некоторые условия на бесконечности. Без особого
обоснования потребуем не слишком бы-
j?
строго возрастания функции (х) на бесконечности, именно
dx'
-fn,
dx
= 0(Soo (x)).
Здесь Soo(x) -предел при t-y-oo функции (11.55), т. e. результат
подстановки kt - k. Применительно к функции (11.56) указанное условие
приводит к требованию, чтобы возрастание
функции было не более быстрым, чем квадратичное. Учи-dt
тывая общее решение
X
= - В Г ?>-Р<а+"°>(*-*> (у2 + к_ ^) dy + Сх е~№+и°>х dx J
уравнений (11.65), (11.66), получаем, что это возможно лишь, если ы0>|а|.
Область больших положительных значений х
267
при этом совпадает с областью Si и в ней 00
== р Г е-ыиь-ацу-х) (y2 + k__ у) dy = dx J
1
- Гх2 +---------------+ -Ь л - y1- (11.67)
¦О L" Р("о -°) Р2("о -а)а J
Область больших отрицательных значений х принадлежит области 02, и в ней
df (х) dx
1
и0 + а
- --- Р J е-&(и,:+а)(Х~У) ^у2 ? y)dy =
-00
>-----------2------н---------?------k - у]. (П-68)
Р("о+") Р2("о+я)2 .
Приравнивая согласно (11.64) выражения (11.67) и (11.68) нулю, получаем
два уравнения для определения хг и у. Решение этих уравнений приводит к
результату
k2 у U* + й2
X
хг =-----о~-(~-h х'); у=& + - ( г "•" I- 2
4 - о2 V N J 2 V N J (4 - о2)2
(11.69)
Проверка подтверждает выполнение неравенства > О
при х > хг и неравенства О при х<хг.
dx
В самом деле, как видно из (11.65), (11.66), обе параболы (11.67),
(11.68) имеют в точке Хг одинаковую производную
(*г) = Р (Y - ^ - 4)>
т. е. являются соприкасающимися. Согласно (11.69) она положительна:
+ х
d*f / ч N . п (*г) = -2 - > 0>
dx2 4 - а2
так что указанные неравенства действительно выполняются.
Интегрированием (11.67), (11.68) нетрудно найти функцию f (х) с точностью
до аддитивной постоянной.
Приведенное решение задачи получено в работах Стра-тоновича и
Шмальгаузена.
268
§ 11.4. УВЕЛИЧЕНИЕ ЧИСЛА ДОСТАТОЧНЫХ КООРДИНАТ
Методы, изложенные в этой главе, в принципе применимы к большому числу
задач. При переходе от более простых задач к более сложным применимость
методов, как правило, не нарушается, однако происходит увеличение числа
достаточных координат, так что фактическое решение задачи, естественно,
осложняется.
Чтобы проиллюстрировать сказанное, усложним пример, рассмотренный в §
11.3.
1. Пусть функция штрафов С, входящая в (11.50), зависит не только от
разности | - у2, но и от каждого аргумента в отдельности, например,
С (I - yv У2) = С0 (у2) {l - y2f. (11.70)
Это означает, что при разных положениях объекта требуется, вообще говоря,
различная точность слежения. Тогда разность х - т - у2 не будет уже
являться достаточной координатой. Именно, для нее будет нарушено
требование 8.7.А, так как для указания средних штрафов будет требоваться
еще координата у2 или т. Пара координат х, т (или х, у2) будет
достаточной. Учитывая вид инфинитезимального оператора (11.57) и усредняя
(11.70) по аналогии с (11.55), получаем уравнения
dSt (х, т) _ \ f kt , A d*St d*St % d*St
dt 2 { N J dx2 N dxdm 2N dm*
+ (a+u0)^-+a^ + C0(m-x)(x*t + kt) (11.71)
dx dm 1
в Si,2, обобщающие (11.60), (11.62).
2. Предположим теперь, что усложнение касается не функции штрафа, а
диффузионного процесса | (t), за которым требуется следить. Пусть его
коэффициент сноса не является постоянным, а имеет вид
а (I) = а° + я1?.
Применяя формулу (9.34) в этом случае, вместо (11.57) получаем вторичный
