Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Из непрерывности функции ф (wh St) вытекает также граничное условие
lim
529tPi-"ttJj
Г 2 " 9 d*St , , . dSt
w\w\ ту + (vwz - №)
1 ow 1
iV
dwf
lim
+ G =
(va)2-№) -
ОШ1
(11.13).
ка границе W\ между областями Ei и Ег.
В данной задаче мы особо интересуемся . стационарным режимом работы, т.
е. предельной функцией (10.48) и предельными стабильными областями Ei,
Ег, Е3 = Е° (вследствие "неустойчивости" Е4 (^) стабильная область Е4
отсутствует) .
Предполагая, что предел (10.48) существует, получаем для него уравнение
т. е.
ф, (wlt S° (wj) = 0," dS°
(vw2 - payj -- + Axwx -f A2w2 = 0 в
awi
(11.14)
N
12
cPS°
dw\
dS<>
+ (vw2 - [шх) - Axwt + A2wx + G = 0 в Es.
dwi
(11.15)
2. Граничных условий (11.12), (11.13) оказывается недостаточно для
решения задачи. К ним нужно добавить условие непрерывности производной
*^-(w\)=-B (11.16)
dw1
на границе ш,' между областью Ег и областью Е°. Это условие аналогично
условию (10.36) и аргументируется тем же способом.
Выведем также дополнительные условия непрерывности производной на границе
Г Э w 1 между областями Ei и Ег-пользуясь уравнениями (11.10), (11.11),
которые для S° (w 1)
252
можно записать
5° (дах) = min { min [Гд(Д") 5° + {A1w1 -f Л2да2) А +
0<Ди<Д
+ GAu], Вда2} + о (А).
Для точек, не слишком далеких от этой границы (не попадающих в Н°), имеем
S°(w1)= min [Тл (Аи) S° + GAu] + (А^ 4- 42да2) А + о (А).
о<ды<д
(11.17)
Предположим сначала, что функция имеет скачок производной:
So (ш ) = I 5°^'; + - w')+ ¦¦¦ ПРИ wi < w'i;
( 5°(tiyi) -f Sf• (tWj - wi) 4- ... при wt > w\,
и рассмотрим в (11.17) точку w1 = да* = w\-a'A (a' - v -
- (p, + v)twj). Для нее
1____________ (ЬУ*-w-\-a' Д)2
S°(w*)- min [(2я6'Ди) 2 je 2bAu S0(au)dwJr GAh] -f-
0<Ди< Д
+ (A1w[ + Aw2)A + o(A) (11.18)
Л, 4 ,2 -2\
(& =_Ш] w2y
Если 5^ <C 5Г (угол излома направлен вверх), то из (11.18) легко
получить, что минимум достигается при Аи - А. В этом случае правая часть
(11.18) равна 5° (ay*) + j/AG1 (0) • (5^- 5Г)+ + 0(Д) подобно тому, как
это было в формуле (10.34). Она не может совпадать с 5° (да*), и мы
пришли к противоречию.
Если Sf>S~ (угол излома направлен вниз), то минимум в правой части
(11.18) достигается при Аи = 0 и правая часть оказывается равной
5° (да* -f a' A) +-(AjW[ + Л2даг) A -f о (А) =
= 5° ^да' + - а'+ (Лхда! + Л2даг) А + о (А).
253
В этом случае она отличается от S° (wr) на величину
S(r)-------------------------|--о! д) - S° ----------------- о, Д| ~Г
(AjWi -Г A2w2) Д -f-
+ о (Д) = - (St + Si ) а' Д + {Ах wi 4- A2w2) Д + о (Д) =
= -L(s+_ 5Г)а'А + о(А)
(последнее в силу (11.14)), если Ei лежит слева от wi, и на величину
±(Sr-St)a'A + о (Л),
если справа. Это опять-таки противоречит равенству (11.18). Остается
единственная возможность совпадения производных S+, S~ справа и слева:
dS° / ' , dS° 1 ' ,Л,
(ш1 + 0) = (oil -0). (11.19)
dwx dwi
3. Перейдем к решению уравнений (11.14), (11.15) приграничных условиях
(11.16), (11.19), (11.12).
Интегрируя (11.15) с учетом (11.19), имеем в Е2
_dS°(w!) = _N_e-.^(Wl) Г бф(1,) Mi 4 H2gg + G ,
dWl 2 J ^
W 1
+ e-^)+^\) (|2=1-У, (11.20)
dwi
где
= _AiWx + A2w2 = _D>-------------D----- (11.21)
dwx vw2 - [iwx vw2 - |хич
в силу (11.14). Функция ф, а также D, D' определены формулами (10.52),
(10.51).
Если положить W\ = w\, то согласно (11.16) отсюда получим уравнение
Beф<""1> = - f еФй.) л-?- 1 ? dh - e^'i> - (щ)*,
2 w{ EiEl dWl
(11.22)
связывающее между собой граничные точки w[, w"y . Здесь 254
предположено, что область Ег примыкает с одной стороны к области Ei, а с
другой - к области Ес; не представляет труда исследовать и другие случаи.
Граничные точки w'{, w\ еще не являются полностью определенными при
помощи уравнения (11.22), однако имеющаяся свобода их выбора существенно
ограничена: положение одной точки определяется положением второй.
Дифференцированием этого уравнения находим связь между смещениями точек:
(w\ w2)~2 [- (vw2 - рач) В + А1 ач + A2w2 + G] бW\ =
= (w[ w'2)~2
9 ,2 ,2 W2Q0
Wl w2 --(mh, +
N dw?
+ (vw2 - (Д.Ш1) (w[)z + Axwi + A2w2 + g] бич. (11.23)
dwi J
Принимая во внимание условие (11.12) и интегрируя вы-
dS°
ражения (11.20), (11.21) для производной ------, можно найти
dwi
функцию S°, и, в частности, ее значение в области Еь
w, w'l
5°ю= j ^-(g1)3idg1+ j ?муг14+в(1-4
Ww" J
(11.24)
Поскольку величины w J, w\ связаны лишь одним уравнением (11.22),
остающаяся свобода их выбора должна быть устранена дополнительно. Для
этого потребуем, чтобы искомым величинам w\, ш>\ соответствовал экстремум
(мини-
мум) функции (11.24). Взяв вариацию от (11.24) при учете
(11.16), (11.19), а также (11.21), имеем
w'i
б5°(Wl) = f -Аг~(^ьЛ^-бш;.
J dwi L J
У1 1
Дифференцируя выражение (11.20), находим
65° (wx) = J (wi w2)~2
2 .2 ,2 ^S0 ,
w 1 w2 --(Wi)Sl +
N dwj
+ (vw2 - \iw[) ~ (w'i)Sl + Ajw'i + A2w2 + g] бич =
dW\ J
= w2)~2 e4iw"A [- (vw2 - рич) В +
+ Axw\ + A2w2 + G] бич
255
где J= f e-4>(6i> d второе равенство вытекает из (11.23).
