Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
условный минимум
vrai inf/((o) = 7(w),
"I SFx
есть функция со свойствами:
2.2.к. она определена почти всюду в Q и почти всюду совпадает с &i-
измеримой функцией;
2.2.Б. если множество ненулевой меры, то
vrai inf / (со) = vrai inf /(ю) (n.B.v).
со?Г м?Г
286
Теорема П.2.6. Определенная выше функция существует и единственна с
точностью до эквивалентности.
Доказательство. Единственность доказывается по аналогии с теоремой П.2.1
с той разницей, что непустое множество Ге заменяется на множество
ненулевой меры. И, кроме того, приведенные соотношения (П.2.2), (П.2.3)
берутся выполняющимися почти всюду.
Доказательство существования является принципиально новым. Формула
v (Г) фг = v (Г) vraiinf/(<o) (П.2.14)
со?Г
определяет на &Г1 3 Г полу аддитивную функцию множеств, ибо, как легко
видеть,
^ (Гг + Г а) ФГ1+Г, С v (Гх) фГж + v(ra)q>ri при v(I\ra) О (П.2.15)
(поскольку из определения фг следуют соотношения фг +Гг С < фр., i = l,2,
если v (Г,) Ф 0).
¦ На (Fj 3 А можно определить меру
р(Л) = sup [v(4)9A + ... + v(4^ ]. (П.2.16)
А=А1+...+Ап .
Здесь верхняя грань берется по всевозможным разбиениям Лх -f ... + Ап, Ас
( (v(AiA}) = 0 при i Ф j) множества А.
Как видно из определения, имеет место абсолютная непрерывность р <?v.
Применяя к мерам р (A), v (A), A теорему Радона - Никодима, доказываем
существование функции f (со), имеющей свойство П.2.2.А.
Свойство полуаддитивности (П.2.15) и формула (П.2.16) приводят к
соотношению
v (П фг < р (Г), (П.2.17).
т. е. к неравенству
Фг < -Г / (&>') v (dca') == Mv [/(а>) [ ю (¦ Г] v (Г) J г
при любом ненулевом
Из (П.2.16) выводится, что можно указать последовательность разбиений
А\ + ...+/&' = А (Л'№)
таких,что
Введем функцию
%1 (со) = / (со) - фг (со) = 7(со) - ФА1, при со (¦ Ali, v (Ali) > О,
которая неотрицательна почти всюду в силу неравенства (П. 2.17) (оно
нарушилось бы для множества Г - {со : хг (с°) <
<0}). Учитывая (П. 2.18) и равенство р(Л) = j*/ (со) v (с?со),
А
получаем, что она стремится в среднем к нулю: lim Г у} (со) v (den) = 0.
ОО V
А
Отсюда вытекает, что %1 (со) сходится по мере к нулю, а из этого факта
легко получить
vrai sup %1 (со) = vrai sup j %l (со) | -> 0
и
vrai inf / (со) <- vrai inf фг (со) (= min [флс: v (Ai) > 0,
A A '
i= 1.......";]). (П.2.19)
Ввиду того что из определения (П.2.14) функции фг для любого разбиения А
= А\ + ... + А1п , имеем
Фл = min [срA/:v (А[) > 0; / = 1, ... , п{},
то (П. 2.19) приводит, следовательно, к равенству
vrai inf / (со) = ф ..
"ел
Требование П.2.2.Б, а следовательно, и вся теорема доказаны.
Мы видим, что вариант 2 имеет перед вариантом 1 то преимущество, что для
него теорема существования доказывается без дополнительных предположений.
Модификацией теоремы П.2.2 в данном варианте является Теорема П.2.7.
Существенный условный минимум почти всюду удовлетворяет неравенству
f (со)= vrai inf / (со') < / (со). (П.2.20)
(r)'loFi
Для доказательства достаточно показать, что
vrai inf / (со) < vrai inf / (со), (П.2.21)
Е Е
каково бы ни было множество ненулевой меры.
288
Зафиксировав ^2, v(?)>0> рассмотрим интервал J= [vrai inf/, vrai sup/]
E E
и множество
Г={со:7(со)е •/}№•
Очевидно, что (с точностью до нулевого множества) оно включает в себя
первоначальное множество: Ю? и v (Г) > 0. Применяя П.2.2.Б, поэтому имеем
vrai inf / (со) = vrai inf / (со) = vrai inf / (со) < vrai inf / (со), e
гг E
что доказывает (П.2.21), а следовательно, и (П.2.20). Сформулируем
модификацию теорем П.2.3, П.2.5. Теорема П.2.8. Какова ни была бы
условная вероятностная мера р (Ae^J^i), справедливо неравенство
vrai inf / (со) < Г / (со) р (dco j ??\).
Теорема П.2.9. При любом е>0 существует такая условная вероятностная мера
р (ЛС <^2 \3ri), что
Г / (со) р (dco | < vrai inf / (со) -ф e.
J "l<Fx
В этих теоремах условная вероятностная мера может быть определена в
отличие от варианта 1 не для всех точек со € Q, а для почти всех точек,
т. е. является обычной условной вероятностной мерой. Доказательство
теорем вполне аналогично доказательству варианта 1.
ДОПОЛНЕНИЕ
РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО
АНАЛИЗА
Для овладения методами, которые связаны с дифференциальными уравнениями,
составляемыми при помощи теории условных марковских процессов, полезно
познакомиться с рассматриваемыми ниже задачами. Они являются в некоторой
степени вырожденными и, следовательно, более простыми. Так, в задачах 2 и
3 отсутствуют априорные переходы, в задаче 4 возможны лишь односторонние
переходы. Поэтому использование теории условных марковских процессов в
этих задачах не является необходимым, но очень полезно. Оно облегчает
составление дифференциальных уравнений, а главное, подготавливает
читателя к использованию теории в более сложных задачах, когда имеются,
например, двусторонние априорные переходы между состояниями. Решение
последних или других более сложных задач без систематического применения
теории условных процессов Маркова было бы затруднительным.
