Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления" -> 85

Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления — МГУ, 1966. — 319 c.
Скачать (прямая ссылка): uslovniemarkovskieprocessiiihprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 97 >> Следующая

+ х + -tolL + о (к-2).
1 kN v ¦
Проиллюстрированное в настоящем параграфе увеличение числа достаточных
координат при учете дополнительных факторов, усложняющих задачу, можно
считать типичным. Связанное с этим повышение вычислительных трудностей
требует разработки новых, подчас своеобразных приближенных методов
расчета.
Приложение 1
УСЛОВНЫЕ МЕРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ НЕНОРМИРОВАННЫХ МЕР
Приводимые здесь формулы и понятия условных мер и условных математических
ожиданий являются прямым обобщением обычных формул и понятий. Обобщение
проводится на тот случай, когда мера не является вероятностной, т. е.
когда мера всего пространства не равна 1.
Пусть задано пространство с мерой (Q,/F, |х), причем д (Q) < со.
Математическое ожидание определим формулой
f?(CD)|X(dCD), (П.1.1)
Р(И) J
?3
если Б (со) есть ^-измеримая суммируемая функция на Q. При таком
определении, очевидно,
МД1 = 1.
Пусть имеется ст-алгебра 3r1 d& • Условную меру |х(Г? ( & | определяем
как производную Радона-Никодима (на З'х) меры р ( • Г) относительно меры
|.i(-)'.
[*(r(ff'|ff'1) = (П.1.2)
(х (day ? <^i)
Такое определение возможно, ибо |л(АГ) = 0, коль скоро Р(А) = 0.
Согласно данному определению
р, (АГ) = ^ (д. (Г | 5^) р (с/со ? Зг1), Г ? Зг, А ? 3Г1
А
или, применяя более наглядную форму записи,
р (dx dy) = р (dx | у) p (dy).
Если имеются монотонные а-алгебры &r1d3r2d---Cl3rN=3r, то аналогично
предыдущему можно определить условные меры
280
В соответствии с этим имеем
р (А ( &~6) = J р (Л | (Fa-О р {da' ? SFk-i)-
Записывая здесь р (da' ? (F*-i) при помощи такой же формулы
а также выражая подобным образом и другие вероятности
Выведенная формула совпадает с обычными такими формулами для условных
вероятностей. В более наглядной форме ее можно записать
II {dx dydz . .. du) = р, {dx | у, г, ..., и) р {dy | г, . .. , и) ... р
{du)
Условной мере (П. 1.2) сопоставляем условное математическое ожидание
в соответствии с формулой (П. 1.1). Но, как видно из (П. 1.2) г p(Q|(Fi)
= l, поэтому условное математическое ожидание можно записать более
просто:
Разумеется, здесь вместо &Г1 можно взять также любую другую а-алгебру,
например (F*.
Для условного математического ожидания также сохраняется естественное
соотношение Таким обра-
зом, и в этом случае условное математическое ожидание имеет смысл некоего
среднего значения функции, несмотря на то, что исходная мера ц не
нормирована на единицу.
Пусть (Fi С (F2 С (F* Как и в вероятностном случае (когда р (Q) = 1),
условное математическое ожидание обладает следующими свойствами:
р {В ? ZFk-i) = J Р {В | ^к-г) Р {da" ? (Fa-2),
р {da ? (Fa-2), р {da ? Fa-з)............
получаем
(Fa^IFa-s) ...pWco^J. (П.1.3)
[?|FJ =
р(?2 iFi) ,
I* I (to) р {da I Fx)
(П.1.4)
281.
П.1.А:
Мд {Мд li I &2] I 5^} = Мд [115^] (почти всюду);
П.1.Б : если I (со) является ^-измеримой, то
Мд [? | 5^] = ? (со) (п. в.)
Свойство П.1.А вытекает из соотношения
J и (А | р (с/(r) е | ^ = р (а | л е
которое можно вывести, положив в (П.1.3) сначала (^.............3rk)~
= (^j, &а, (F) (? = 3), а затем (5^..........5^) = (^х. 50 (^=2)
и приравняв результаты.
Проверим свойство П. 1.Б. Вследствие /^-измеримости (а значит, ^-
измеримости) функции ? (со) соотношение
Мд [115Е,] = j ? (со) р (с/со |
можно записать
Мд [? | ^2] = j i (w) р (с/со ? Зг213'з).
Но мера р(А^^'2|^'2) согласно (П.1.2) является тривиальной: р (Л ? /Т'з |
/Fa) == /а (со) почти всюду (п. в), где /д (со)-индикатор множества Л.
Поэтому
j 1 (со') р(с/со' е 1S*) = j ?(">') /*/(со) = |(со),
в чем можно убедиться, заменив интервал на допредельную сумму и перейдя к
пределу.
Итак, мы видим, что для невероятностных мер также можно ввести условные
меры и условные математические ожидания со свойствами, которые аналогичны
обычным свойствам, имеющим место для вероятностных мер.
Приложение 2. УСЛОВНАЯ МИНИМИЗАЦИЯ Вариант I
Пусть задано пространство Q и две а-алгебры его подмножеств/Ti С ^2-
Далее най задана /Т'г -измеримая функция /(со),
282
Определение П. 2. 1. Условная нижняя грань
inf / (со) = /'(со)
"1^1
есть функция со свойствами:
П. 2.1 .А. она определена на О. и ZFx -измерима;
П. 2.1.Б. если Г € &i непусто, то
inf /(со) = inf / (и).
ш?Г ш?Г
Теорема П. 2.1. Приведенное определение задает условную нижнюю грань
единственным образом.
Доказательство. Пусть f\ (со), /г (со) - две такие несовпадающие функции.
Тогда существует е > 0 и непустое множество ГЕ , на котором одна функция
превосходит другую больше чем на е, например
Гв= {со: ? (со)-?((c))> в}. (П.2.1)
В силу П.2.1.А. имеем Ге^^. Учитывая П.2.1.Б., получаем inf А (со) = inf
А И> (П.2.2)
так как каждая величина равна inf [/(со), со? Г?]. Но согласно (П.2.1)
inf A И - inf А И > 8. (П.2.3)
ге ге
Полученное противоречие доказывает совпадение функций
ЛИ = 7аИ-
Теорема П. 2.2. Условная нижняя грань удовлетворяет соотношению
7Н</ И. (П.2.4)
Доказательство. Выберем любую точку со0?П и рассмотрим интервал /Е =
{/(со0),~/(со0) + е}. Вследствие П.2.1.А. множество {со : / (со) ? /Е} =
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed