Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
оо оо
/"(*)= J f(x,y)Fla+"(y)dy = (- 1)" j f(1) (</)dy
<-оо -оо
(11.83)
Чтобы получить уравнения для них, умножим (11.82) на pi*+1) ^ и
проинтегрируем по z/. При рассмотрении членов, содержащих производные по
у, целесообразно производить интегрирование по частям. Кроме того,
следует воспользоваться соотношениями
d*F"B+1> (у) , Л [yFin+u {у)] + np{n+l) (i/) = 0.
dy2 ду
г/К<п+П (у) = - р(п+2) ^ - пР(ц) {ур
275
Тогда из (11.82) будем иметь при п - О
df0
&fQ
dx
f.
/то
dx2
1 dx
df
dx
dy + x' + h^ - y-
(11.84)
dfn-1
+
__ "° Г /Чл+l) df rik J dx
при n^> 1. Подставим сначала
a df0 i
a dfn nk dx
Л.
dy-
*fn
2 nk dx2
dfn+l
h-
kY к dx к dx
nY к dx
a d/i У-2 (Pfi
(11.85)
"о
I
/42)
_a/_
dx
dy-
2k dx2
df,
Yk dx
(11.86)
в уравнение (11.84). Затем подставим в полученное уравнение аналогичные
выражения из (11.85) для /г и fь потом в результат- выражения для /з, /г,
fi и т. д. Эти подстановки будут добавлять в уравнение все новые и новые
члены прогрес-
сирующих порядков относительной . Гдавные члены (члены наинизших степеней
параметра % 2), однако, образуются уже в результате первых подстановок и
дальнейшие подстановки на них не влияют. Оставляя лишь некоторые такие
главные члены, записываем результирующее уравнение в виде
а *f°_ + _ Ug Г Я1) I Jf_
J I dx
dx
+ '
2 dx
1 d2fp dx2 5<|U0
+
f d
¦ I a -
У dx
dlj + *2+% - У + d7o
d2
+
Yk
d
dx
I
/4 2)
df
dx
2 dx2 J dx2 dy + 0(k-3).
+
(11.87)
Если описанные многократные подстановки делать в уравнение (11.86) или в
аналогичное уравнение для fz (или /з,...),
_ з_
то можно получить, что f 1 имеет порядок % 2, fz имеет порядок к~3 и т.
д.
Г df
Интегральные члены, содержащие J/Ч/!+1)
5лг
dy, следует
276
в результирующих выражениях, например в уравнении (11.87), выразить через
/0, /ь... и в конечном счете через функцию /о и ее производные. Покажем,
как это делается. Записывая функцию / (х, у) через производные
оо
f{x,y) = Yi-Vf{k){x'0)yk (1L88>
*=0
и подставляя в (11.83), имеем
ОО
fn (*) = (- 1Г 0)7, (11.89)
1=0
где
Эти равенства можно рассматривать как уравнения относительно k = 0,
1,...}. Учитывая, что функции fn (а зна-
чит, и /<")) убывают с ростом п как степени малого параметра _ з_
^ 2, нетрудно разрешить систему уравнений (11.89) и найти с выбранной
степенью точности, например,
f(x, 0) =/"(л:)-----1-/2(л:) + ...;
/(i)(x,0) = -/1(x) + -f/3W+ (П.90)
/(2)(*. 0) = /я(л:) + ...;
Итак, {/(*)} выражены через {fn). Поэтому и интеграл
/?("+>)
JL
дх
ОО
dy = j /(*> (х, 0) У'
dy
k=0
оказывается выраженным через {/"}. Многократные подстановки (11.85)
приводят к тому, что этот интеграл в конечном счете выражается через /0.
В результате уравнение (11.87) становится замкнутым уравнением
относительно функции /о (х) и может быть использовано для ее отыскания.
Уравнение для линии переключения
(11.91)
?-0
277
по той же причине выражается только через функцию fo (х). Конкретные
вычисления облегчаются наличием малого параметра и тем, что вычисления
можно проводить лишь с точностью до выбранной степени этого параметра.
Чтобы проиллюстрировать описанный метод, найдем первую поправку к
невозмущенному режиму. Оставляя лишь первые (самые большие) поправочные
члены (в 11.87), имеем
dx
dx*
FO)
df
dx
dy + x2 + ki -y
+
*la d2/o =0>
(11.92)
Я dx2
В соответствии с выбранной точностью здесь можно пола-
гать
dfo
dh
= \Fil) &)]-%-
dx dx "У d*f0
г/ + 0(Я-3)
dy =
Я К'Я дх*
+ 0(Я 2)
dy.
Этот интеграл, следовательно, равен з
dfo
dx
в тех местах, где
dfo
dx
> аЯ
d-Ч о
dx2
, т. е. в подавляющем большинстве мест.
Более сложное выражение для него справедливо в области В,
где
dfo 3 ~аЯ 2'
dx dx*
dfo
. Пусть Хг-точка, определенная ус-
ловием -^-(хг) = 0. Указанная область содержит эту точку
и в ней
р"
dfo ... d?fB dx
df
dx2
(хг)(х - Лг) + 0(Я~3). Поэтому в области В
dx
dy =
<Pfo dx*
(*r)|- p<"0/)
¦ xT + аЯ 2 у dy.
dfo
Отличие этой функции от I -- I равно
dx 1
I
FO)
df Ау~ dfo
дх dx
+ аЯ 2 у dy - \x - xp
]-
з
аЯ 2
dVo
dx*
(*r)
X - Xr -ф-
ФМ, (11.93)
(fW= j ^(1) (У) [ | а-1яэ/* (X - Хг) + у | - а-'Я3Я | х - хг | J dy). 278
Линия переключения, определяемая посредством (11.91), в рассматриваемом
приближении является прямой: уг (х) =
= - хг). В самом деле, из (11.88), (11.90), (11.86)
имеем
f(x, у) --Ш-ШУ+ ¦ ¦ ¦ {х)у + • • •
и, следовательно, df
<Pfo
дх д,-
d2fo
dx*
(хг) (х - Хг) ¦
a df0
к V к dx2
(х)у+ ... = (*г) у+ ...
Отсюда, приравнивая модуль нулю, получаем указанный результат. Уравнение
(11.92) вследствие (11.93) принимает вид
ъ_ + Щ*к+а^
2 к dx* dx
а "о
к/к
к
*/о
dx2
dfo
dx
(Хг)
ф (х) -f л2 + % - у = о,
аналогичный (11.65), (11.66). Функция ф (л:) сказывается
__ _3_
в области В, имеющей по оси х малую ширину -сЛ 2 , и в данном приближении
мало влияет на результат. Главное отличие от результатов § 11.3 поэтому
сводится к тому, что диф-
N
+ х заменяется на
*11
N
+
фузионный коэффициент х2
