Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Г принадлежит &г1. Очевидно, что оно не пусто. Применяя для этого
множества П.2.1.Б., получаем
/К)= inf / (со)
ю?Г
Отсюда вытекает (П.2.4) в точке со0, поскольку со0(¦ Г.
Теорема П.2.3. Пусть р (Л | ^'1) - некоторая условная вероятностная мера
на (Q, Эгг), т. е. функция пары (Л. со) ? ? 2 X П, которая &^измерима по
второму аргументу и при
Л ? обращается в тривиальную меру
(П.2.5)
283
(/л (ш) _ индикатор множества Л). Тогда
J{a) < <\>f{a')p{da' IFJ, (П.2.6)
если интеграл в правой части существует при всех ш. Доказательство.
Используя (П. 2.4), имеем
j / (ш') р {da' | Fx) > j />') p {da' ? F2 | FJ.
Интеграл в правой части этого равенства в силу П. 2.1.А можно записать
Учитывая тривиальный характер (П. 2.5) подынтегральной меры, имеем
| / (o') р {da' | Fx) = | J{ar) ha- {а) =/(").
В том, что это действительно так, можно убедиться более подробно,
рассматривая интеграл как предел соответствующей суммы. Сопоставление
приведенных соотношений доказывает (П. 2.6.).
Теорема П. 2.4. При любом е>0 существует такая ZF-i-измеримая функция о*
(со) (со значениями из ?2), что
/ (со* (to)) < / (со) 4- §. (П.2.7)
Доказательство. Произведем е-разбиение действительной прямой точками ...,
сь с2, ... (0<cft+i - ck<e). Каждому элементарному интервалу сопоставляем
множество
Г* ={ш :/((c))€ [с*. ck+\)}.
В силу П.2.1.А оно ? Fx. Если оно не пусто, то в соответствии с П.2.1.Б
имеем
inf / (со) ( [ck, ck+l), inf f{a) < ck+1.
со?Г^
Следовательно, можно выбрать такую точку что
/Ю<са+г (П-2.8)
Соединение всех непустых множеств ..., 1Д, Г2, ... совпадает с Q.
Фиксируя множество выбранных точек ... , оо*, со*..........
определяем функцию на Q:
а* (о) = со* при со( ГА.
. Очевидно, что неравенство (П. 2.7) будет выполняться, 284
поскольку точки со и со * (со) принадлежат одному и тому же Гь и,
следовательно, f (со), / (со * (со)) принадлежат одному и тому же
интервалу (ck, ch+i) (неравенство ch < / (со^) <
<ck+i вытекает из (П. 2.8) и (П. 2.4)).
Остается проверить ^-измеримость указанной функции со* (оо). Согласно
своему определению она измерима относительно ст-алгебры, построенной на
множествах ..., Гь Г2,.... Но ст (..., Гь Г2,...)С^1, поскольку всякое
Гьб^ь Теорема доказана.
Теорема. П.2.5. При любом е>0 существует такая условная вероятностная
мера р (AC^I^i^ что
j/(co')p (da)' | 5^) </(со) + e. (П.2.9)
Доказательство. Построение меры, обладающей указанными свойствами, можно
провести по аналогии с построением функции со* (со). Для собГь (см.
предыдущее доказательство) определим меру р (Л | со 6 Гь) как
сосредоточенную на непустом множестве
Л = rk П {(r): / И ck+i)} 6 ^2.
полагая
ИА1ш?гл) = ^ - Ak\a>? гд = о
(на подмножествах ЛС Аи мера может быть определена произвольно). Тогда,
как легко видеть,
ГД = 1; j f(a')n(da>'\a?rk)?lck,ck+l].
Меры р(Л[со€Гь), следовательно, удовлетворяет условию (П. 2.5) и
неравенству (П. 2.9). Как функция от со она измерима относительно ст
(..., Гь Гг,...) С KF\, что завершает доказательство.
Проведенное выше рассмотрение еще не дает уверенности в том, что заданная
определением П.2.1 условная нижняя грань действительно всегда существует.
Поэтому целесообразно сконструировать функцию, обладающую требуемыми
свойствами.
Рассмотрим функцию
Фг = inf [/(со), со ? Г]
на множествах сг-алгебры Обозначим через Ка класс множеств^из которые
содержат точку со 6 Q. Определим
функцию f (со) формулой
/ (со) = sup фг. (П.2.10)
ГеКа
Выведем ряд соотношений для этой функции.
Поскольку со ? А для каждого А (¦ Ка, то
/ (со) > inf [/ (со), со (¦ А] = ц>А.
285
Учитывая (П. 2.10), отсюда получаем
/(?о;>/(?о). (П.2.11)
Возьмем далее некоторое Г и точку со ( Г. Очевидно, что Г? Ка, так что в
силу (П.2.10)
7((c))>Фг, inf/(co) >срг. (П.2.12)
mgr
Но согласно (П.2.11)
inf / (col < inf/(&))(= фГ). (П.2.13)
mgr cog Г
Сопоставляя (П.2.12), (П.2.13), получаем
inf J(ю) = фг,
со gr
т. е. доказываем свойство П.2.1.Б.
Чтобы доказать, что / (ю) совпадает с условной нижней гранью, данной в
определении П.2.1, остается доказать ее (^-измеримость. Без
дополнительных предположений удается доказать несколько более слабое (чем
f-1 ут-
верждение: если точки со 1, шг не разделяются ни одним множеством из &и
то точки f((r)i), /(юг) не разделяются ни одним множеством из с(r)
(борелевским множеством).
Конечно, в подавляющем большинстве частных случаев функция (П.2.10)
оказывается^-измеримой. Измеримые пространства (Й, ^"г), обладающие этим
свойством при любых с ^2 и /, можно назвать нормальными.
Вариант //.
Изложенную теорию можно общить на случай пространства с мерой (Q,^2, v)
так, чтобы в ней не различались ш-функции, принадлежащие одному классу
эквивалентности. Многие результаты и рассуждения переносятся на этот
случай лишь с тем изменением, что утверждения, справедливые всюду,
заменяются на утверждения, справедливые v-почти всюду, т. е. с точностью
до подмножеств множества меры нуль. Определение П.2.2. Существенный
