Температура - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
63
в идеальном случае теплоемкость определяла бы число степеней свободы так,
что каждое колебание считалось бы за две степени свободы. На самом деле
положение более запутанное. В металлах, например, электроны, создающие
электрический ток, почти не участвуют в тепловом движении. Их степени
свободы как бы "замерзли". Поэтому теплоемкость твердого тела можно
вычислить, совсем забыв про электроны и учитывая только колебания тяжелых
ядер. Понять это странное явление удалось лишь тогда, когда была создана
квантовая механика.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА
Все, что было сказано выше, есть следствие того факта, что газ,
предоставленный самому себе и находящийся в постоянных внешних условиях
(например, газ, заключенный в сосуд, стенки которого находятся при
постоянной температуре), приходит в состояние равновесия.
С макроскопической точки зрения в нем устанавливаются постоянная
температура, постоянное давление а если газ состоит из нескольких
компонент (как воздух), то и состав газа в разных местах в сосуде будет
одинаков.
Молекулы газа даже в равновесии движутся беспорядочно, сталкиваясь между
собой и со стенками сосуда, беспрерывно меняя свою скорость. Однако не
Есе изменяется столь хаотически. Как бы ни изменялась скорость, среднее
значение ее квадрата остается постоянным. Это значит, что, если бы мы
могли следить за какой-нибудь молекулой достаточно долго, мы увидели бы,
что она будет то ускоряться, то замедляться, хотя в среднем квадрат ее
скорости будет постоянным (средним по времени). Тот же результат
получится, если мы вместо того, чтобы следить за одной молекулой,
измерили в какой-то момент времени скорости разных молекул: среднее
значение опять оказалось бы тем же (средним по числу молекул) *).
*) Внимательный читатель может спросить, почему при двух способах
определения средней скорости результат будет одним и тем же. Среднее по
времени ввел в физику Эйнштейн, и то, что это среднее равно среднему по
числу молекул, до сих пор не доказано до конца,
64
Зададим вопрос: сколько молекул, т. е. какая их часть, движется с
определенной скоростью в данный момент? Эту задачу решил Максвелл (общая
теория статистических свойств физических систем была развита Больцманом и
Гиббсом).
Мы не будем выводить формулу распределения Максвелла. Для наших целей
важно только то, что согласно этой формуле распределение молекул по
скоростям определяется множителем, имеющим вид экспоненты, т. е.
/(о)~ех р(-?),
тФ
где - = е- кинетическая энергия молекулы.
Максвелл опубликовал свою формулу в 1860 г. Его вывод казался очень
странным. Он не решал подробно уравнений для каждого из сталкивающихся
атомов, а сразу получил условия для равновесного состояния системы из
большого числа атомов. Но такие условия никак не следовали из механики.
Не удивительно, что даже Томсон пытался проверять закон распределения,
рассматривая механику биллиардных шаров *). Максвелл возвращался вйовь к
выводу своей формулы в 1867 г. В новой работе он доказал, что полученное
им распределение действительно не изменяется при соударениях молекул.
Строгий вывод распределения Максвелла на самом деле оказался нелегким
делом, в котором еще до сего времени не все прояснилось.
ЧТО ТАКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ?
На первый взгляд во фразе: "Столько-то молекул в газе имеет скорость,
например, 200 м/с" - нет ничего странного. Но это число 200 не может быть
совершенно точным. Точных значений бесконечно много, а молекул хотя и
много, но все-таки конечное число. В каждый данный момент поэтому
молекулы не могут иметь все возможные скорости. Но это и не нужно. Всякую
скорость мы измеряем с какой-то точностью, а поэтому на самом деле речь
идет не точно о скорости 200 м/с, а о неком интервале скоростей от 200 -
б
*) Биллиард оказался популярной моделью для исследования поведения
атомов. Теория сталкивающихся шаров на биллиардных столах разной формы
развилась в интересную область математики.
3 Я. А. Смородииский
65
к
до 200 + б, где б - некоторая малая величина, отвечающая условиям опыта.
Если говорить не об абсолютной величине скорости, а, скажем, о компоненте
vx, то можно задать вопрос: сколько молекул (или, лучше, какая доля
молекул) имеют компоненту скорости, лежащую в интервале от vx до vx +
Avx? Такую величину можно записать в виде Ап (vx) = / (н*) Avx. Функцию f
(vx) называют функцией распределения.
На рис. 14 изображены две диаграммы. Ступенчатая линия описывает
примерное распределение молекул,
так что площадь каждого (n-го) прямоугольника (она равна fnAvx) есть доля
молекул, имеющих скорости, лежащие в соответствующем интервале. Величина
интервала Avx выбрана равной единице. Такая диаг-
рамма называется гистограммой. Если число ступенек гистограммы очень
велико, то ступенчатую линию можно заменить гладкой (она также изображена
на рисунке). Эта линия и есть функция распределения. Так как f (vx)
определяет долю молекул, то площадь под всей кривой должна быть равной
