Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Смородинский Я.А. -> "Температура" -> 25

Температура - Смородинский Я.А.

Смородинский Я.А. Температура — Температура, 1981. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): temperatura1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 58 >> Следующая

больше молекул, чем в другом, и весь газ двигался бы как целое.
Но мы знаем, что эта функция должна распадаться на три одинаковых
множителя, каждый из которых зависит только от одной компоненты скорости
(точнее, от ее квадрата).
Квадрат скорости равен сумме квадратов компонент: v2 = п* + Vy -f- nj.
Итак, задача состоит в том, чтобы найти такую функцию от п2, которая
распадалась бы на произведение трех одинаковых функций от vx, vy и vz
соответственно.
Рис. 15. Элементарный кубик в пространстве скоростей.
69
Можно показать, что единственная функция, удовлетворяющая этому условию,
записывается в виде
f (v2) ~ exp (-ап2) = exp (- avl) exp (- av%) exp (- ао|).
Дальнейшие расчеты требуют вычисления интегралов, мы их приводить не
будем. Заметим только, что коэффициент
т
а~Шг
находится из условия, чтобы среднее значение, напри-
kT
мер (о*)2, удовлетворяло старому условию (vx)cp = -.
Можно еще написать функцию, которая описывает распределение молекул по
кинетической энергии, т. е. определяет долю молекул, имеющих кинетическую
энергию в интервале е, е 4- Ае. Такая функция имеет вид
/ (е) = (2nkT)~3/2 е~ е/кТе1/2.
Эта функция также называется функцией распределения Максвелла.
Из того факта, что функция распределения распадается на множители,
вытекает, что распределения по всем трем осям не зависят друг от друга и
подчиняются одному и тому же закону. Можно сказать, что вероятность для
молекулы попасть в некоторый выбранный нами кубик, т. е. вероятность
того, что в результате столкновений молекула приобретает скорость,
отвечающую координатам внутри этого кубика, распадается на три множителя
- вероятности каждой из компонент скорости молекулы оказаться в интервале
значений, отвечающем ребру кубика.
Такую задачу можно проиллюстрировать игрой в кости. Пусть мы бросаем три
игральные кости, выкрашенные в разные цвета. Вероятность того, что на
одной из костей, например красной, выпадет пятерка, равна 1/в. Такова же
вероятность того, что на зеленой кости выпадет тройка (или на желтой -
четверка).
Почти очевидно, что если мы будем бросать все три кости сразу, то
вероятность любой комбинации, например: 3 (красная) + 4 (зеленая) + 1
(желтая) -будет равна произведению 1/9'1/в-1/в - 1/216.
Основанием для такого решения служит интуитивная уверенность, что
бросание каждой кости никак
70
не зависит от бросания других, а потому все тройные комбинации чисел от
1, 1, 1 до 6, 6, 6 должны выпадать одинаково часто, т. е. иметь
одинаковую вероятность. Процесс распределения молекул по скоростям в
результате столкновений, конечно, не похож на бросание костей. Этот
процесс только демонстрирует, почему произошел распад на три множителя.
Вывод распределения Максвелла хотя и не очень прост, но кажется настолько
логичным, что никакого другого распределения вроде бы и быть не может.
Чтобы подчеркнуть, насколько ошибочными могут оказаться "очевидные" вещи,
следует сказать, что распределение Максвелла не описывает газ, в котором
существенную роль играют квантовые свойства (например, электроны в
металле или газ, состоящий из фотонов). Для таких систем функция
распределения выводится из совсем других предположений.
Газ, в котором молекулы распределены по Максвеллу, обладает замечательным
свойством. Такое распределение не изменяется со временем. Каждая
отдельная молекула изменяет свою скорость очень часто (сталкиваясь с
другими молекулами). Но иа место молекулы, выбывшей из кубика, приходит
другая молекула. Если мы не различаем молекулы между собой (а это,
конечно, так!), то распределение молекул будет оставаться все время одним
и тем же.
Если наполнить какой-либо сосуд газом, то через некоторое время
распределение его молекул по скоростям станет равновесным,
максвелловским. Это должно произойти совершенно независимо от того, какое
распределение газ имел в начальный момент - молекулы его могли иметь,
например, одинаковые скорости или двигаться еще как-нибудь, но после
некоторого времени должно установиться равновесное распределение.
Если немножко подумать, то это утверждение должно показаться странным и
даже не вполне правдоподобным. В задачах механики мы привыкли к тому, что
надо задать начальные координаты и скорости, чтобы определить с помощью
уравнений Ньютона положение и скорости частиц в более поздние (или более
ранние) моменты времени. При этом разные начальные данные приведут к
разным состояниям системы. В механике, как говорят, система "помнит" свои
начальные условия,
71
т. е. там всегда можно в принципе восстановить историю системы.
В газе все происходит по-другому. Каким бы ни было распределение
скоростей в нем в исходный момент времени, оно должно превратиться в одно
и то же распределение Максвелла. В этом случае система "забывает" свою
историю, и из изучения распределения газа в равновесии почти ничего
нельзя узнать о том, в каком он был состоянии раньше.
История газа, которым мы заполнили сосуд, разбивается на два периода. В
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 58 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed