Температура - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
то на поршень действует сила ро. Если эта сила остается постоянной, то,
сдвинув поршень на длину ДI, сила произведет работу ДА = ро Д/. Нетрудно
видеть, что произведение о А1 есть не что иное, как уменьшение объема
газа -ДК. Чтобы ДА было положительным, мы написали знак минус. Итак,
выражение для работы, совершенной над газом, имеет вид (рис. 9)
ДА = - pAV (ДА>0, если ДК<0).
С помощью уравнения идеального газа исключим давление:
ДА = -y~AV,
или
AV= - ДА.
Это и есть уравнение, которое нам надо решить.
*) Интересно, что похожее уравнение было найдено в записях у Карно,
40
Пусть газ сжимается от объема V до объема, например, V (т. е. AV - y к].
Повторим эту операцию 10 раз.
В конце этапов объем принимает значения V, \ v, Y V, ..., glo V-
Посмотрев на только что написанное
1 1
||
AA=pAV=flrj?
AY V
Рис. 9. Изотермическое сжатие газа.
уравнение, мы увидим, что для того, чтобы объем уменьшился от значения V
до ^ V, надо совершить работу, примерно равную
&A = ~RT ^первый этап:
Вместо того чтобы точно учитывать изменения объема в правой части, мы
заменим V на полусумму +
1 \ з
+ - V1 = -4 V значений объема в начале и в конце этапа.
Ясно, что, сужая этапы, уменьшая изменение объема, можно сделать ошибку
этого приближения сколько угодно малой.
Вычислим таким же образом работу, совершаемую над газом на втором этапе.
При этом мы опять заменим
объем на полусумму (у V + -|- v) = V. Чтобы снова
уменьшить объем вдвое, надо положить AV=~V, откуда получаем
AA - ^RT ^второй этап:
Дальше уже нетрудно увидеть, что на любом этапе при уменьшении объема в
два раза совершается одна
41
и та же работа:
ДА =-| RT.
Таким образом, затраченная работа будет расти в арифметической
прогрессии, в то время как объем будет уменьшаться в прогрессии
геометрической.
Рис. 10. Работа при изотермическом сжатии.
Мы можем теперь написать такие же формулы для случая, когда начальный
объем V0 уменьшается на каждом этапе лишь на очень маленькую часть V, 1.
В этом случае после N этапов (N 1) отношение объемов будет равно
Го I1 п) " а совершенная работа
A = N-~RT.
П
Исключая из этих формул N, получаем связь между
изменением объема ~ и работой А:
V о
ь-И'-т
А_
RT
Если теперь устремить п -*¦ оо, то выражение в квадратных скобках будет
стремиться, как известно, к 1 /е = = 1/2,7172...:
lim(l-iY= 1 1
п-юо \ /
/ 1 \л
¦ • lim 1 -1-
п-*оо \ п
42
Таким образом,
или
A=-RT 1п?.
у о
Полезно привести геометрическую иллюстрацию полученной формулы. Нарисуем
график (рис. 10) функции р (V, Т) при постоянной Т, т. е. гиперболу
Работа А при изменении объема V на ДУ есть площадь заштрихованной
полоски, а вся работа на сжатие газа от объема У0 до объема V равна,
очевидно, площади фигуры под отрезком гиперболы, обведенной двойной
линией.
АДИАБАТА
Изучим теперь немного подробнее, как ведет себя газ в термосе, когда к
нему не подводится тепло н от него оно не отбирается. В этом случае
температура газа изменяется только за счет внутренней энергии газа.
Если сосуд с газом теплоизолирован, то работа, которая совершается над
газом, или работа, которую совершает газ, будет единственным источником
изменения его внутренней энергии:
AU = АА = - pAV = - Щ- Д1/.
Если бы газ нагревался при постоянном объеме, то изменение энергии
определялось бы лишь теплом, которое подводится к телу. В этом случае
можно написать для энергии другую формулу:
AU - cv АТ,
где Су - это теплоемкость газа (на один моль) при постоянном объеме. Эта
формула есть просто определение величины Су. Написанные две формулы
отражают тот факт, что изменение внутренней энергии может
43
происходить двумя путями: за счет тепла и за счет работы. Поэтому AU
можно сосчитать, заменив адиабатический процесс на другой, состоящий из
двух этапов. Сначала изменяют температуру при постоянном объеме. Тогда U
увеличится на cvAT. После этого дают газу расширяться при Т = const. При
этом значение U будет оставаться постоянным, а совершенная газом работа
как раз компенсирует то количество тепла, которое было затрачено на
первом этапе. Приравнивая AU, вычисленное двумя способами, получаем
AV с" АТ
и -Я = 0
V ' R Т
Если cv не зависит ни от Т, ни от V (это верно для
не очень больших изменений температуры идеального газа), то такое
уравнение можно решить. Легче всею проверить, что если мы положим
CL
VT R = const,
то уравнение будет удовлетворено. Проверить это можно, подставив вместо V
н Т слегка измененные величины V + АК и Т + АТ. Мы убедимся, что const
не изменится, если пренебречь (AV)2, (АТ)2 и АК АТ. Рели
вместо Т ввести давление, то формула примет вид
pKv - const (постоянная здесь, конечно, другая), где
cv-\-R
Заметим еще, что величина R численно равна работе, которую совершает
идеальный газ, если его температура повышается на 1а, а давление остается
постоянным:
-АА = pAV = RAT.
Если нагревать газ не при постоянном объеме, а при постоянном давлении,
то надо подвести к нему дополнительно R калорий на моль, чтобы
