Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. VII
волны Р(х) является функцией л:. Можно всегда изменить постоянную k и функцию Р(х) так, чтобы при этом волновая функция (59.12) осталась неизменной. С этой целью достаточно сделать замену
k = k' + 2пр/а, Р' (х) = Р {х) ei2n’’xla,
где р — произвольное целое число. Тогда (59.12) преобразуется в
»F(x, t) = P' (хи1{к'х~ы{),
т. е. в волну с другой периодически меняющейся амплитудой Р'{х) и другим волновым числом k'. От такого преобразования физически ничего не изменится.
Пользуясь указанной неоднозначностью, при рассмотрении движения электрона в какой-либо зоне волновое число k (волновой вектор k) можно выбрать так, чтобы его модуль принял наименьшее значение из всех возможных. Особый интерес представляет случай, когда k <С 2я/а, а «амплитуда» Р(х) содержит постоянное слагаемое, значительно превосходящее все остальные слагаемые, быстро меняющиеся в пространстве. (Это, как будет видно из дальнейшего, имеет место при движении электрона, энергия которого находится вблизи одной из границ зоны.) В этом случае функция 4х станет волной постоянной амплитуды, на которую накладывается мелкая рябь, периодически повторяющаяся на каждом периоде решетки. При рассмотрении усредненного движения электрона от такой ряби можно отвлечься, т. е. оперировать с электронной волной уже постоянной амплитуды, получающейся из Р(х) путем пространственного усреднения. Длина такой усредненной волны А = 2n/k предполагается очень большой по сравнению с периодом решетки а. Можно построить пакет таких усредненных волн в узкой области Ak. Тогда скорость усредненного движения электрона будет равна групповой скорости
v = dg/dp. (59.13)
6. Выделим какую-либо разрешенную зону и рассмотрим соотношения вблизи ее границ, за которыми следуют запрещенные зоны. На нижней границе зоны энергия Ж минимальна, а на верхней максимальна. Значит, производная d&/dp, а с ней и усредненная скорость электрона на обеих границах зоны, обращается в нуль. Поэтому вблизи границы каждой зоны разложение Ж по степеням р = hk может начаться только с квадратичного члена. Если энергию отсчитывать от края зоны, а квазиимпульсы в местах максимума или минимума считать равными нулю, то получится
Ж = р2/2тэф,
(59.14)
ЗОННАЯ СТРУКТУРА И ВОЛНЫ БЛОХА
379
&
где
= . (59.15)
тэф ' dp 'Р = °
Величина тэф называется эффективной массой электрона. Она, как правило, не совпадает с настоящей массой электрона те. На нижней граиице зоны (минимум <§) эффективная масса тэф положительна, тогда как на
верхней границе (максимум ^
ё?) она отрицательна о) 6)
(рис. 105). В трехмерной кристаллической решетке роль величины 1/тЭф играет тензор д2<%/dpidpj, но сущность явлений, связанных с 44 понятием эффективной мае- U Р
сы, можно уяснить на одно- рис 105
мерной модели, где масса тэф является скаляром.
Связь между энергией электрона и его квазиимпульсом вблизи границы зоны формально имеет такой же вид, что и связь между энергией и импульсом свободной частицы. Это и дает основание в рассматриваемом случае называть величину тэф эффективной массой, а квазиимпульс р во многих руководствах называют просто импульсом. Специфика усредненного движения электрона в периодической кристаллической решетке вблизи границы зоны заключается, однако, в том, что эффективная масса электрона может быть и положительной, и отрицательной. В силу этого вблизи нижней границы зоны векторы v и р направлены одинаково, а вблизи верхней — противоположно, как это видно из формулы (59.13) и рис. 105.
7. До сих пор предполагалось, что внешнего силового поля нет. Наложим теперь на кристалл слабое постоянное электрическое поле. Оно в принципе несколько сместит энергетические уровни в кристалле. Но так как эти уровни практически непрерывны, то никакого изменения в положении уровней внутри зоны не произойдет. Могут только слегка сместиться границы самой зоны. Но в слабых полях этот эффект совсем не заметен и ни в чем не проявляется. Наложенное электрическое поле может, однако, вызвать изменения в заполнении энергетических уровней электронами. Это может произойти только тогда, когда по крайней мере некоторые энергетические уровни зоны заполнены не целиком, а частично. Согласно принципу Паули па одном уровне может находиться не более двух электронов, спины которых направлены противоположно. Если зона заполнена целиком, то электроны могут только обмениваться состояниями, что в силу их тождественности физически ни в чем не прояв-
•3F0
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. VII
ляется. Никакие движения электронов, связанные с их переходами из одного состояния в другое, невозможны. В этом случае при наложении электрического поля в кристалле и не возникнет электрического тока.
В состоянии равновесия при отсутствии внешнего поля в частично заполненной зоне будут заполнены электронами все наиболее низкие энергетические уровни. На каждом из них будут находиться два электрона с противоположно направленными спинами. При наложении электрического поля начнутся переходы из занятых состояний в свободные и возникнет электрический ток. Скорость усредненного движения электрона при этом определяется выражением (59.13). Влияние кристалла на движение электрона уже учтено дисперсионной формулой (59.10). Но на электрон в электрическом поле Е действует еще внешняя сила F =—еЕ. Изменение энергии электрона за время dt под действием этой силы будет d<S=iFvdt. Но в силу (59.10) d<% = (d(g/dp)dp = v dp. Приравнивая оба выражения, получаем dp = F dt, т. e.
