Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЗОННАЯ СТРУКТУРА И ВОЛНЫ Г.ЛОУЛ
373
ми волновыми функциями каждого электрона. Каждая из таких волновых функций зависит уже только от координат одного электрона, который находится в силовом поле, создаваемом атомными ядрами и остальными электронами кристалла. Ядра ввиду их массивности считаются при этом неподвижными, а электроны как бы «размазаны» по всему кристаллу. Таким путем многочастичное волновое уравнение Шредингера заменяется одночастичным для каждого электрона.
Необходимо отметить, что потенциальное силовое поле, в котором находится рассматриваемый электрон, не задано, а само зависит от состояний электронов. Такое поле называется самосогласованным. Согласование состоит в том, что, с одной стороны, одночастичные волновые функции отдельных электронов формируются самосогласованным полем; с другой стороны, самосогласованное поле само зависит от вида одночастичных волновых функций электронов. Метод самосогласованного поля находит свое оправдание в том, что большинство результатов, к которым он приводит, согласуются с опытом. Это в свою очередь связано не с явным видом самосогласованного поля, а главным образом с его пространственной периодичностью, определяемой периодичностью самой кристаллической решетки.
Необходимо заметить также, что волновые функции достаточно ввести не для всех, а только для внешних, т. е. валентных электронов, сравнительно слабо связанных с атомами решетки. Остальные электроны можно считать прочно связанными с атомными ядрами. Получается модель решетки из положительно заряженных ионов, которые рассматриваются неподвижными. Пространственно периодическое самосогласованное поле создается такими ионами и плавающими между ними валентными электронами.
2. В такой постановке рассмотрим задачу о виде стационарных одночастичных волновых функций электрона в кристалле и структуре энергетического спектра электрона, предполагая, что внешних силовых полей нет, а сама решетка простирается бесконечно во все стороны. Во избежание математических усложнений ограничимся рассмотрением одномерного кристалла (т. е. бесконечной прямолинейной цепочки одинаковых атомов, находящихся на постоянном расстоянии а друг от друга). Уравнение Шредингера для стационарных состояний в этом случае имеет вид
Нг d2i]3 2 m dx2
+ U (х) Oj) = &У\>,
(59.1)
или
(59.2)
374
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. VII
где введено обозначение
х2 = -|?- (<г-t/). (59.3)
Это — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодически меняющимися коэффициентами, поскольку из-за отсутствия внешнего поля х2(х + а) = >12(х) для любого х. Оно называется уравнением Хилла (частный случай уравнения Матьё).
Исследуем общий вид решений уравнения Хилла, используя периодичность функции х2(х). В1 силу этой периодичности
d ^ (dx2+ а) +^2(х + а)Ир(х + а)= d ^2--— + к2 М 'Ф + а).
Отсюда видно, что если функция ^(л:) есть решение уравнения Хилла, то функция ф(х+а) будет также решением того же уравнения. Если \|3i(x) и г|з г (л:)—какие-либо два произвольных линейно независимых решения уравнения Хилла, то общее решение его может быть представлено в виде
а|) (х) = с^, (х) + с2о|)2 (х),
где Сі и с2— произвольные постоянные.
Докажем теперь, что среди решений уравнения Хилла существует такое решение Ф(*), что для любого хФ(х-\-а) =Ш>(л:), где % — постоянная. Если такое решение существует, то его, разумеется, также можно представить в виде
Ф (х) = (х) + c20|)2 (х).
Для упрощения вычислений выберем линейно независимые решения фі(*) и фгМ так, чтобы они удовлетворяли условиям
,Ф1(0)= 1, 4>ї(0) = 0;
4>г(0) = 0, ^(0)=1-
(В этом случае говорят, что функции фі(^) и ф2(х) образуют фундаментальную систему решений.) Тогда при х=0 требования Ф(* + а) = Ш>(х) и Ф'(х + а) = %Ф'(х) запишутся в виде
Сі^і (а) + с2-ф2 (а) == ЯС!, cyt (а) + с$'2 (а) = Кс2у
или
[oh (а) — Л] с, + а|>2 (а) с2 = О, а|)' (а) с, + [-ф'(а) — К]с2 = 0.
Для совместности этих линейных однородных уравнений (относительно С\ и с2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
ЗОННАЯ СТРУКТУРА И ВОЛНЫ БЛОХА
375
= 0, (59.4)
условие
т])і(а) —Я i|>2 (а)
^2 (а) — Л, или
К2 — [гр, (а) Н- г|)'(а)]?.+ [tyl (а) \j)'(a) — (a) \|з2(а)] = 0.
Путем дифференцирования с учетом уравнения (59.2) нетрудно убедиться, что
-jj [I5! (*) "Ф2 М — (*) ^2 М] = °-
Следовательно, функция, стоящая в квадратных скобках, постоянна. Ее значение найдется, если положить х == 0. Тогда она обратится в 1. Такое же значение эта функция будет иметь и при х = а. Введем, далее, обозначение
¦Фі (a) + ^'2(a) = 2L.
Величина L, разумеется, постоянна, поскольку используется однозначно определенное (фундаментальное) решение уравнения Хилла (59.2). Она называется постоянной Ляпунова (1857— 1918). Ее значение определяется функцией к, т. е. в конце концов параметром <§. Теперь для определения X получается квадратное уравнение
А2 — 2LK +1=0. (59.5)
Из него найдем два значения А:
А1>2 = /.± sjL2- 1. (596
Тем самым определится не одно, а даже два решения уравнения (59.2): Фі(х) и Ф2(л:), обладающие требуемым свойством. (Случай равных корней мы исследовать не будем — он может быть рассмотрен предельным переходом Аі->А2.) Решения Фі(х) и Ф2(л:) линейно независимы, и их удобно выбрать для представления общего решения в виде
