Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
•ф = с,Ф, (*) + с2Ф2 {х). (59.7)
Сами решения Фі(х) и Ф2(х), конечно, не могут быть найдены, пока функция х2(х) (т. е. в конце концов самосогласованное поле U) неизвестна, а параметр & не фиксирован. Но это не мешает оперировать функциями Фі(х) и Ф2(л:) для установления общих свойств решений уравнения Хилла (59.2). А интересующие нас свойства таких решений существенно зависят от величины постоянной Ляпунова L.
3. Допустим сначала, что постоянная L по модулю больше
единицы: |L| > 1. Тогда оба корня А,і и А2 вещественны и по
модулю один больше, а другой меньше единицы, так как АіА2 = = 1. Поэтому из уравнения Ф(х + а)= АФ(лг) следует, что при x-v+oo одна из функций Фі(х) или Ф2(л.) неограниченно
376
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. VII
возрастает, а при х-*—оо неограниченно возрастает другая. В силу этого при \L\> 1 ни одно из решений Фі (*) и Фг(^), а следовательно, и произвольная линейная комбинация их с постоянными коэффициентами (59.7), не может быть волновой функцией электрона в кристалле. Это означает, что в кристалле не существует состояний с энергией (%, для которых |L|> 1. Такие энергии образуют запрещенные энергетические зоны.
Если же |L|< 1, то можно положить L = cos ka, где k — постоянная. Тогда
Я,и 2 = cos ka ± і sin ka = e* ika.
Следовательно,
Ф1.2(дс + а) = е±/*“Ф,.2(дс), (59.7a)
т. e. при изменении а: на а модуль функции Ф(л:) не изменяется. Меняется только ее фаза. Обе функции Фі(х) и Ф2(х), а также их произвольная линейная комбинация с постоянными коэффициентами могут быть решениями уравнения Шредингера (59.1). Поэтому возможны только такие значения энергии S’, для которых модуль постоянной Ляпунова меньше единицы. Они образуют разрешенные энергетические зоны кристалла.
Как и в предыдущем параграфе, мы пришли к зонной структуре энергетического спектра электрона в кристалле. В пределах каждой зоны энергия электрона меняется непрерывно. Это, конечно, связано с предположением о безграничности цепочки. Если бы цепочка была ограничена, то на ее концах должны были бы выполняться определенные граничные условия, которые бы и превратили непрерывный спектр зоны в ряд более или менее тесно расположенных линий. Для пояснения изложенного полезно рассмотреть модельную задачу 1, приводимую в конце этого параграфа.
4. Волновые функции Фі(х) и Фг(Аг) могут быть представлены в виде
Ф). 2 (х) — е± ikXPI.2W-
Очевидно, с одной стороны,
Фи2[х + а) = е± ik{х+а) Р,, 2(х + а).
С другой стороны, ввиду (59.7а),
Фь 2 (X + а) = Є± ika Ф,, 2 (Х) = Є± ik ,х+а> Р[, 2 (х). Следовательно,
P\,2(x + a) = PU2(x), (59.8)
т. е. обе функции Р\{х) и Р2(х) периодичны с периодом а.
Если еще учесть временной множитель е~ш, то в отсутствие внешних силовых полей возможные полные волновые функции
ЗОННАЯ СТРУКТУРА И ВОЛНЫ БЛОХА
377
в кристалле можно представить в виде
Чг, (х, t) = Pl(x)e-4*t-kx>, lF2(х, t) = P2{x)e-l^t+kx\
(59.9)
Эти волны описывают «свободное движение» электрона в кристалле, когда все действующие на него силы ограничены взаимодействиями с ионами кристаллической решетки и остальными электронами, а внешних силовых полей нет. Они называются волнами Блоха (р. 1905). В отличие от плоских волн де Бройля, распространяющихся в свободном пространстве, в волнах Блоха величины Р\(х) и Р2(х) не постоянны, а пространственно модулированы, т. е. периодически меняются вдоль цепочки с периодом а. Из-за такой пространственной модуляции при свободном распространении Ч'-волн в кристалле величину hk называют квазиимпульсом электрона, тогда как при движении электрона в свободном пространстве такая величина есть просто импульс. В трехмерных кристаллах плоская волна Блоха имеет тот же вид, что и (59.9). Только Р(х) заменяется на функцию Р(г), обладающую той же пространственной периодичностью, что и сама решетка, а волновое число k — на волновой вектор к, которому соответствует квазиимпульс hk.
5. Выбором постоянной Ляпунова, а с ней и квазиимпульса hk определяется (с точностью до постоянного множителя) волновая функция Блоха. Следовательно, определяется и энергия электрона <%, которая входит в стационарное уравнение Шредингера в качестве постоянного параметра. Таким образом, в пределах каждой зоны допустимые значения энергии электрона могут быть представлены как функции квазиимпульса:
так как <S = has. Оба эти соотношения называются законами дисперсии электронных волн- или электрона в кристалле. Законами дисперсии описывается взаимодействие рассматриваемого электрона с ионами кристаллической решетки и со всеми остальными электронами (заряд которых «размазан» в пространстве).
В плоской волне Блоха
волновое число k определено не однозначно. Но причина этого иная, чем в случае акустической волны в кристаллической решетке, где неоднозначность связана с дискретностью значений, которые может принимать координата х (см. § 56). В волне же Блоха координата х меняется непрерывно. Зато «амплитуда»
<S = <S (р).
(59.10)
(59.11)
Отсюда получается
(О = to (k),
?(*, /) = /> (х)гг
(59.12)
378
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
