Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
dp/dt = F. (59.16)
Та же формула получается и в трехмерном случае. Только скаляры р и F следует заменить векторами р и F. Получится формула, вполне соответствующая классической. Дифференцирование же соотношения (59.13) по времени дает v = = (d2&/dp2) (dp/dt), или на основании формул (59.15) и (59.16)
гПзфй — Р- (59.17)
8. Рассмотрим специально случай, когда электроны заполняют почти всю зону. В этом случае ток связан с наличием свободных состояний вблизи верхней границы зоны (рис. 105,6), так что эффективная масса электрона отрицательна. Тогда согласно (59.17) ускорение электрона і) направлено против действующей силы F = еЕ, т. е. по полю Е (е < 0). Электрон ведет себя как отрицательно заряженная частица, но с отрицательной массой ш3ф. Но в точности так же будет вести себя и воображаемая частица, у которой масса и заряд положительны. Какие знаки приписать массе и заряду воображаемой частицы — не имеет значения. Существенно только, чтобы они были одинаковы. Но электрон с положительным зарядом и положительной массой ведет себя в точности так же, как «дырка», введенная в предыдущем параграфе. А так как число электронов, которые принимают участие в электрическом токе, в точности равно числу вакантных мест (дырок) в зоне, то носителями тока формально могут считаться дырки. Тем самым становится понят-шм, почему коэффициент Холла, например, может иметь не только отрицательный знак, но и положительный (см. т. III, § 98).
ЗОННАЯ СТРУКТУРА И ВОЛНЫ БЛОХА
381
9. Заметим в заключение, что в идеальной кристаллической решетке с неподвижными ионами плоская волна Блоха распространялась бы без затухания. Электрическое сопротивление кристалла в таком случае было бы равно нулю. Тепловые колебания, дефекты и примеси приводят к рассеянию электронных волн, т. е. ограничивают длины свободного пробега электрона, с чем и связано возникновение электрического сопротивления.
ЗАДАЧИ
1. Рассмотреть одномерную прямолинейную бесконечную кристаллическую решетку, моделируя потенциальную энергию Ч(х) ступенчатой функцией, изображенной на рис. 106. Найти разрешенные и запрещенные зоны для такой цепочки, задав значения а и U, характерные для атомных размеров.
Решение. На участках I примем потенциальную энергию равной нулю, а на участках II — постоянному значению U. Стационарное уравнение Шредингера с постоянной энергией & на участках I будет
+ xfy = 0, (59.18)
а на участках II
-^+x^ = 0, (59.19)
где Xi и х2 — постоянные:
а 2m „ 2 2m
X1 ==z = -fiT — U)-
Будем сначала предполагать, что & > 0 и S’ — U > 0. Тогда xt и х2 будут вещественными. Без нарушения общности их можно считать положительными. В интервале (0, а/2) система фундаментальных решений представится функциями
l|)l = COS Xi*. \|>2 = --- Sin ХіХ.
XI
Найдем теперь эти функции в интервале (а/2, а). В этом интервале представим первую функцию в виде
ф] = A cos х2 (х — а/2) + В sin х2 (х — а/2).
Неизвестные коэффициенты Лий найдутся из условий непрерывности функции фі (*) и ее производной ¦ф1 (х) на границе интервала х = а/2. Таким
382
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. VII
путем получаем, что в интервале (а/2, а) (*)
Х!а t Х1 ¦ Х>а ¦ ,
cos --— cos %2 (* 0-/2)---------— sin —sin Х2 (х — а/2).
2 Xj 2
Аналогично находим, что в том же интервале
, , 1 , 1 xta . .
фг (х) — — sin —— cos у.2 (х — a/2) H--------------------cos —— sin x2 (л — a/2).
Xf Z X 2 Z
Для постоянной Ляпунова получается
і = 4- [ti (a) + ^ (°)] = cos 1
x5a
sin sm —g-
(59.20)
В случае, когда <8 > 0, но <!Г — У < 0, изменим обозначения, заменив прежнее х2 на мнимую величину гх2, т. с. положим = 2т (U — ё }//г Тригонометрические функции от мнимого аргумента следует заменить на гиперболические функции. Тогда формула (59.20) преобразуется:
L ¦
Xiа , х2а :c0s_ch__
W Ні Хг\ .
• -тг I-------------------) SJ
2 V «2 /
Хіа , Х2 а sin “sh —
(59.21)
Наконец, когда б? < 0 и 8 — U < 0, надо сделать вторую замену xj -(т, е. положить x'f == — 2гп&/йг). Тогда
: ch ch + тг ( — + —) sh-^fsh
2 2 2 \ х2 Х[ ) 2
х2 а 2
(59.22)
Формулы (59.20) —(59.22) имеют довольно сложный вид. Их исследование удобно проводить только графически на примерах. Приведем численный пример, полагая ориентировочно а — 2-10-8 см, U — 5 эВ. Соответствующая кривая для L = L(S') приведена на рис. 107. На заштрихованных участках величина |L| меньше единицы. Эти участки в нашей модели являются разрешенными зонами. Светлые участки, где |L| > > 1, соответствуют запрещенным зонам.
2. Полюсы батареи соединены кристаллом, зона проводимости которого почти доверху заполнена электронами. В таком случае эффективная масса электрона отрицательна, и он движется через кристалл с ускорением в направлении электрического поля. Туда же будет направлена и средняя скорость электрона, так как до наложения поля средняя скорость была равна нулю. Иными словами, электрон движется через кристалл от анода к катоду Следовательно, внутри батареи движение электрона происходит от катода к аноду, а ток внутри батареи в соответствии с принятым соглашением течет в противоположном направлении — от анода к катоду. Но такой ток заряжает батарею, а это противоречит закону сохранения энергии. Разрешить этот парадокс.
