Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Gs, для чего покажите, что если (|, /)-любая чистая трансляция (здесь I -
единичная матрица), то любой групповой элемент вида (tj, М) (?, /) (тр
М)~1 также представляет собой чистую трансляцию,
В кристаллографии можно получить обширную информацию о кристаллической
структуре путем определения Gp и S' (причем последнюю группу при помощи
решетки, которую она порождает). Однако, вообще говоря, это дает меньше
информации, чем можно было бы получить, задавая пространственную группу
Gs. В частности, может содержать, а может и не содержать Gp в качестве
подгруппы, так как G5 может включать (?, М) для некоторого \Ф 0, но не
включать (О, М).
Замечание. S' как абстрактная группа изоморфна свободной абелевой группе
с п образующими, и, следовательно, не дает никакой информации. Однако
решетка, порожденная при помощиdT, в случае заданной фундаментальной
системы периодов несет информацию о /(х). Пространственная группа,
относительно которой решетка преобразуется сама в себя, содержит
пространственную группу функции f (х) в качестве подгруппы.
Для п-3 подробное описание возможных операций симметрии, а также описание
пространственных и точечных групп содержатся в книге Генри и Лонсдейла
[19651. Операциями симметрии являются: чистая трансляция, чистое
вращение, отражение в плоскости, отражение совместно с поворотом вокруг
оси, перпендикулярной плоскости отражения, отражение совместно с
трансляцией парал-
18.14. Пространственные и точечные группы
29
лельно плоскости отражения и вращение совместно с трансляцией параллельно
оси вращения. Для любого вращения единственно возможными углами поворота
будут ±2лIn, где п = 1, 2, 3, 4, 6, как это показано для случая чистых
вращений в упражнениях 2 и 3 (см. ниже). Всего существуют 32 точечные
группы, 14 типов решеток и 230 пространственных групп.
Упражнения
2. (Цель этого упражнения - показать, что единственно возможными чисто
вращательными симметриями двумерного кристалла являются повороты вокруг
осей симметрии /i-го порядка, где п= 1, 2, 3, 4 или 6.) Рассмотрим
невырожденную дважды периодическую функцию f (х, у) и запишем ее в виде /
(г), т. е. как (неаналитическую) вещественную функцию комплексной
переменной z = x-\-iy. Пусть а и Р-фундаментальная пара периодов; тогда
Re {a/f)) Ф 0 и f (г-{-па-\-т$) S3 f (г), где п и т - целые числа.
Выбирая подходящую ориентацию и масштаб по осям * и у, примем для
простоты Р=1. Допустим, что / (г) также инвариантна относительно вращения
г-> е,0г. Из уравнений
. /(г)=/ (ге\
f(z+l)=l(zeiQ+eie), f (z+a) =/ (ze'0-f-ae10)
заключаем, что e10 и ael9 являются периодами функции /(г). Исходя из
этого, покажите, что а удовлетворяет уравнению
ra2-t-(s - р) а-q = 0, где р, q, г, s - целые числа, такие, что
ps - rq= 1,
откуда следует, что
еа-(1±\ГР = 4)/2, l-p + s.
Для того чтобы 0 было вещественным, I должно принадлежать [-2, 2).
Получите отсюда заключение, что для 0 возможны лишь следующие значения:
0, ± л/3, ± л/2, ± 2л/3, ± л.
3. Обобщите заключение упражнения 2 на трехмерный случай следующим
образом: допустите, что функция } (х, у, z) = /(x) трижды периодична и
что {u, V, w) - фундаментальная система периодов. Предположите далее, что
f (х) инвариантна относительно поворота на угол 0 вокруг некоторой оси в
пространстве. Выбирая начало координат на этой оси, запишите вращение в
виде х-> Rx, где R - ортогональная матрица размера 3x3 с детерминантом,
равным 1. Покажите, что векторы
u' = Ru - и, v' = R\ - v, w' = Rw - w
являются периодами функции I (х), перпендикулярны оси вращения и не
коллинеарны. Отсюда последует, что f (х) дважды периодична в любой
плоскости, перпендикулярной оси вращения, а значит, применим метод
упражнения 2.
В некоторых книгах ограничение возможных осей симметрии в кристалле осями
симметрии только 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков выводят из
несколько таинственного "принципа рациональных индексов", который, как
говтэрят, должен иметь эмпири-
30
Гл. 18. Элементарная теория групп
ческое происхождение. Мы видели, однако, что это ограничение является
непосредственным следствием наличия трижды периодической структуры;
поэтому "принцип рациональных индексов" не нужен.
18.15. ПРЯМОЕ И ПОЛУПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП.
СИММОРФНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
Если G0- нормальная подгруппа группы G, то в общем случае нельзя
полагать, что G является произведением групп Ga и G/G0; в самом деле, G в
общем случае даже не содержит подгруппу, изоморфную G/G0. Далее мы
рассмотрим два исключения из этого общего правила.
Рассмотрим простейший случай. Пусть Я и К - подгруппы группы G, такие,
что любой элемент g из G может быть единственным образом представлен в
виде АА, где /г содержится в Я, а к - в /С; кроме того, каждый элемент /г
из Я коммутирует с каждым элементом k из К. В таком случае говорят, что G
представляет собой прямое произведение групп Я и /С; символически G = HxK
или G = KxH. Единица е является единственным элементом из Я п/С (если бы
