Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 6

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 162 >> Следующая

нормальную подгруппу G0. Если G не содержит такой подгруппы, то группа G
называется простой, поскольку она не может быть гомоморфно отображена на
какую-либо еще более простую нетривиальную группу. В § 18.8 будет
доказано обратное утверждение! если G содержит нормальную подгруппу, то
можно построить гомоморфизм, для которого G0 является ядром, и при помощи
этого построения получаются все (в смысле изоморфизма) гомоморфные образы
группы G.
Для любого элемента х элементы вида yxy~l(y ? G) называются сопряженными
с элементом х. Подгруппа является нормальной тогда и только тогда, когда
она содержит все сопряженные со всеми ее элементами. В абелевой группе
уху~1=х, и поэтому любая подгруппа является нормальной.
18.6. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ
Пусть G0-подгруппа группы G, а у-произвольный фиксированный элемент из G.
Подмножества
sy' = {У ° х- * € G"}, S'/' = \х о у: х? GJ
называются соответственно левым и правым смежными классами в группе G по
подгруппе G0. Элемент у называется представителем смежного класса Sjf*
(или класса Sjf'). Любой элемент смежного класса можно рассматривать в
качестве его представителя. Сама подгруппа G0 является как левым, так и
правым смежным классом; в качестве представителя этого класса можно взять
единичный элемент е данной группы. Соответствие х->¦ у ох для данного у и
всех x?G0 есть взаимно однозначное отображение G0 на Sf (аналогично для
правых смежных классов); следовательно, каждый смежный класс содержит то
же число (конечное или бесконечное) элементов, что и подгруппа G0. Кроме
того, легко доказывается, что любые два левых смежных класса по подгруппе
G" (любые два правых) или совпадают, или же не имеют ни одного общего
элемента, так что число элементов в G (если оно конечно) равно числу
элементов G0, умноженному на число смежных классов (скажем, левых),
включающих и саму под-
18
Г л. 18. Элементарная теория групп
группу G0. Теорема Лагранжа для конечных групп гласит: порядок подгруппы
является делителем порядка самой группы. Из этого следует, например, что
если количество элементов в группе G представляет собой простое число, то
G не имеет никаких подгрупп кроме \е\ и самой G. Смежные классы Эф и S(yn
обозначаются также через yG0 и G0y. Отметим, что эти смежные классы,
исключая саму группу G, не являются подгруппами.
18.7. ФАКТОРГРУППЫ
Теорема 1. Подгруппа G0 группы G является нормальной тогда и только
тогда, когда каждый левый смежный класс в группе G по подгруппе G0
совпадает с соответствующим правым', тогда смежный класс, содержащий у,
можно обозначить через Sy. (Доказательство элементарно и предлагается в
качестве упражнения.)
Определение. Если St и S2-любые два подмножества (причем не обязательно
подгруппы или смежные классы) элементов группы, то их произведение
определяется как подмножество
def
SiS2 = (г, ° z2: (18.7.1)
отметим, что в общем случае SiS2^=S2Si.
Если Sj и S2-смежные классы (левые или правые), то их произведение в ¦
общем случае не является смежным классом (обычно это множество больше,
чем любой смежный класс). Исключение составляет случай, когда G0 <3 G.
Теорема 2. Если G0-нормальная подгруппа группы G (G0<]G), то S S = S для
всех y±vy2e G. Обратно, если Gu-подгруппа причем такая, что произведение
любых двух (скажем, левых) смежных классов всегда представляет собой
(левый) смежный класс, то G0 <] G (в этом случае различие между левым и
правым смежными классами исчезает). При этих условиях множество смежных
классов \Sy: y?G\ образует группу по отношению к операции умножения,
определенной в (18.7.1). Эта группа называется факторгруппой группы G по
нормальной подгруппе G0 и обозначается через G/G0. Далее, отображение
<р": G->- G/G0, определяемое как <pn(y) = Sy (каждый элемент группы G
отображается на смежный класс, в котором он находится), представляет
собой гомоморфизм, называемый естественным гомоморфизмом группы G на
G/G0.
Согласно этой теореме, доказательство которой также предоставляется
читателю, всегда можно построить гомоморфный образ
18.9. Структура циклических групп
19
и гомоморфизм, соответствующий любой нормальной подгруппе G0. Из теоремы
следующего параграфа вытекает, что такие гомоморфизмы, в сущности,
являются единственными гомоморфизмами данной группы G.
18.8. ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМАХ
Теорема. Пусть ф: G -*¦ G' - произвольный гомоморфизм, и пусть G0-его
ядро, а ф(0)-образ группы G в G' при отображении ф. Обозначим через Sy
смежный класс в G по подгруппе G0, в котором содержится элемент у. Тогда
ф(б) и факторгруппа G/G0 изоморфны. Точнее, отображение Ф: G/G0 ->-ф(0),
задаваемое форм улой
во-первых, вполне определено (в смысле независимости от частного выбора
представителя у смежного класса Sy), а во-вторых, является изоморфизмом.
Схематически это можно изобразить так:
Читателю настоятельно рекомендуется провести подробное доказательство
теоремы; подчеркнем лишь, что, собственно, должно быть доказано. Чтобы
доказать, что Ф вполне определено, нужно показать, что из Sy,'=5^ следует
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed