Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 15

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 162 >> Следующая

направлении вектора v, (v, может быть выбран вещественным), остается
инвариантной относительно преобразования х -*¦ Rx; очевидно, эта прямая
является осью вращения.
[Напоминание. Если М - нормальная матрица, т. е. матрица, которая
коммутирует со своей эрмитово сопряженной, т. е. если МЛ1* = Л1*Л1 (в
частности, эрмитовы матрицы и унитарные матрицы являются нормальными), то
из собственных векторов матрицы М можно построить полную
ортонормированную (относительно эрмитова скалярного произведения) систему
векторов в п-мерном пространстве. Если все собственные значения различны,
то собственные векторы автоматически ортогональны; если же к является г-
кратным собственным значением, то соответствующее собственное
подпространство г-мерно и в нем можно выбрать ортонормирован-ный базис;
сделав так для каждого собственного подпространства, можно получить
полную ортонормированную систему векторов.)
Пусть ^=1, к2 = е'в, кй = е~'в и векторы Vj, v2, vs образуют
ортонормированную систему (они являются собственными векторами). Возьмем
новые векторы
ui = v,, u2 = (l/j/" 2 )(v2 +vs), u3 = (i/j/2") (v2-v3); (19.2.5)
они также образуют ортонормированную систему (причем все эти векторы
можно считать вещественными, поскольку v2 и v3 могли быть выбраны
комплексно сопряженными); отсюда
/?и, = Uj, /?u2 = cos0 u2 + sin0 us, Ru3 =- sin0 u2+ COS0 u3.
(19.2.6)
Мы видим, что преобразование, описываемое матрицей R, является вращением
в плоскостях, перпендикулярных вектору иь
Если задана матрица R, то угол и ось вращения практически находятся
следующим образом. Так как сумма собственных значений матрицы равна ее
следу, угол 0 задается уравнением
1 +е'в + <?~10 = /?п + R22 + R33,
или
cos G = V, (/?" + R3i + R3 3-1). (19.2.7)
Далее, ось вращения совпадает с направлением вектора v (выше
он обозначался через Vj), который соответствует собственному зна-
чению к =51; следовательно, Rv = v. Но в силу ортогональности матрицы R
RTR = /, откуда v = RTv. Поэтому (R-RT)\ = 0, так что компоненты и,, v2,
v9 вектора v находятся в отношении
v1'.v2:v3 = (RM - RS2)-.(R31-Ria):(R12 - R2i). (19.2.8)
19.4. Группы Лоренца
39
Упражнение
Проведите аналогичный анализ группы SO (л) для произвольного п.
19.3. УНИТАРНЫЕ ГРУППЫ
Обобщение ортогональных групп на комплексный случай можно реализовать
двумя способами. Первый путь основывается на том, что комплексная
ортогональная матрица есть любая комплексная матрица М, которая
удовлетворяет соотношению МТМ = 1 точно так же, как и в вещественном
случае. Но, видимо, полученные так группы не будут представлять большой
интерес.
Второй путь: назовем унитарной матрицу U, такую, что U*U = / (тогда и UU*
= I). При унитарном преобразовании х->-Ux л-мерного комплексного
пространства Сп эрмитово скалярное произведение
п
Х*у = 2 Х,у,
/'= 1
любых двух векторов х и у остается инвариантным. Обратно, если это
произведение инвариантно для любых х и у, то матрица U является
унитарной. Унитарной группой U(n) называется группа всех унитарных матриц
размера пхп (или унитарных преобразований в Сг).
Поскольку det U* комплексно сопряжен с det U, из равенства U*U=I следует,
что |det i/|=l, т. е. det U есть число на единичной окружности в
комплексной плоскости. Подгруппа группы U (я), состоящая из унитарных
матриц с det U = 1, называется специальной (или унимодулярной) унитарной
группой и обозначается через SU (п).
19.4. ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
Если х, у, г, t и х', у', г', t' - декартовы координаты в двух инер-
циальных системах отсчета, оси которых параллельны, но вторая система
движется относительно первой со скоростью V в направлении -\-х и если в
момент t=t'= 0 обе системы совпадали, то, согласно специальной теории
относительности,
x~Vt у' = у, г'-г, t = ¦ (19.4.1)
f \ - У2/с2' ' У.1 - V2/c2
Другие инерциальные системы могут быть получены путем относительного
движения в направлениях других осей координат, вращений в пространстве,
смещения начала отсчета пространства-времени, пространственных отражений,
обращения времени. Если учитываются отражения и обращение времени, то мы
имеем полную
40
Гл. 19. Непрерывные группы
группу Лоренца, в противном случае - собственную группу Лоренца. Смещение
начала координат здесь не обсуждается, так что рассматриваемые
преобразования однородны, т. е. уравнения не содержат постоянных членов.
Если ввести обозначения (обычные для теории относительности)
хг = х, хг = у, Xs = 2, x* = ci
(иногда ct обозначают через х°) и определить ср формулой
v, V/c
Sh ф =-----, :. ,
Y1-Уг1сг то (19.4.1) можно записать в виде
4
*'•* = 2 р$х\
v=l
где коэффициенты р% образуют матрицу
/ch ф 0 0 sh ф\
о0 о ? I )•
\sh ф 0 0 ch ф/
В оставшейся части данного параграфа будет использоваться соглашение о
суммировании, по которому предполагается, что любой член, содержащий
повторяющийся индекс [например, v в (19.4.3)], уже просуммирован по этому
индексу (по v = 1, 2, 3, 4); таким образом, (19.4.3) можно записать
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed