Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 10

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 162 >> Следующая

/(x)=/(x+w) для всех х; поэтому w является тоже периодом функции /(х).
Кроме того, предполагается, что любой период /(х) имеет вид (18.13.3) с
целыми коэффициентами; тогда говорят, что векторы v (1), . . ., v (п)
образуют фундаментальную систему периодов. Некоторые функции могут не
обладать фундаментальной системой периодов даже в том случае, когда они
являются периодическими в строгом смысле, например постоянные функции и
функции, периодические по некоторым переменным и не зависящие от других
переменных. Такие функции будут называться вырожденными и исключаться из
рассмотрения на основании следующих физических соображений: каждый атом
занимает некоторый объем, и функции, подобные потенциалу и плотности
заряда, изменяются от центра атома к периферии, так что в любом данном
направлении в пространстве неизбежны некоторые изменения. Кратно
периодическая функция называется невырожденной, если она имеет
фундаментальную систему периодов.
Множество точек х в R', определяемое как
где mt-целые числа, называется решеткой функции /(х). Если задать новые
векторы v'(l), ...,v'(n) в виде
то v'(l), . . ., v' (п) также образуют фундаментальную систему периодов,
поскольку, если разрешить систему уравнений (18.13.5) относительно v (/),
то мы увидим, что v (/) являются линейными комбинациями векторов v'(/) с
целыми коэффициентами. Обе эти фундаментальные системы порождают одну и
ту же решетку.
18.14. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
w = mj-v(l)+ ... +m"v(n),
(18.13.3
х = mt\ (1) -f ... +mnv(n)
(18.13.4)
v' (/)=~m/iv (!) + •• • +nJnv(n), (18.13.5)
где mJk-целые числа, такие, что
(18.13.6)
Пусть для любого фиксированного вектора w Ту, обозначает трансляцию
Tw! х-.-х + w (для всех х) (18.14.1)
18.14. Пространственные и точечные группы
27
пространства IR". Тогда кратно периодическая функция /(х) инвариантна
относительно всех преобразований из абелевой группы
?Г = <TW: w-период функции /(х)}, (18.14.2)
которая называется группой трансляций для функции /(х). Функция /(х)
может быть, конечно, инвариантной и относительно других преобразований,
таких, как некоторые повороты вокруг определенных осей, отражения в
некоторых плоскостях и т. п. Группа (js всех (однородных и неоднородных)
линейных преобразований пространства R", относительно которых / (х)
инвариантна, называется пространственной группой функции /(х) или для
/(х), представляющей кристалл,- пространственной группой кристалла.
Элемент группы Gs есть преобразование вида
х -x' = Mx + |, (18.14.3)
где .V.-невырожденная матрица, а |-вектор; это преобразование
обозначается через (1, М). Произведение двух преобразований в группе Gs
состоит в последовательном применении этих преобразований:
х == /VI,х' -f- Ij = Mj (М2х -f-|2) "Ь
т. е.
(li, MJ О (12, M2) = (M112 + 1I, MjM,). (18.14.4)
Преобразование (18.14.3), при котором функция /(х) инвариантна,
называется операцией симметрии функции / (х).
Вообще говоря, преобразования (18.14.3) включают трансляции, вращения,
растяжения и сдвиги. Однако нетрудно видеть, что если /(х) - непрерывная
и невырожденная функция (в частности, если она представляет реальный
кристалл), то растяжения и сдвиги можно исключить. Чтобы показать общий
характер этого рассуждения, рассмотрим сдвиг в плоскости: квадратная
решетка из точек с целочисленными координатами на плоскости х, у
инвариантна относительно группы трансляций <?Г, состоящей из трансляций
вида x-*-x-\-k, y-*~y+l(k, I целые), а также относительно различных
преобразований, включающих сдвиги типа
S": х-*х-\-пу, у-у у (п - целое число). (18.14,5)
Если взять в качестве/(х, у) функцию, равную 1 в точках решетки (х, у
целые) и равную 0 в остальных точках, то / будет инвариантна и
относительно преобразования (18.14.5). Однако непрерывная невырожденная
дважды периодическая функция /(х, у) не может быть инвариантной
относительно (18.14.5). Если бы она была инвариантной, то было бы
справедливо тождество
f (х + ny-k, //) = /(х, у)
28
Гл. 18. Элементарная теория групп
для всех п и А; для иррационального у числа пу-k всюду плотнь на R; таким
образом, по непрерывности f(x, у) должна бы не зависеть от х для всех
иррациональных у, а значит, и для всех у (снова по непрерывности), и,
следовательно, / (х, у) должна бы быть вырожденной. Поэтому сдвиги нужно
исключить. Рассуждая аналогичным образом, можно заключить, что матрица М
в (18.14.3) должна быть ортогональной.
Множество всех ортогональных матриц М, таких, что (|, М) содержится в Gs
для некоторого |, также представляет собой группу; она называется
точечной группой функции /(х) и обозначается через Gp. Ясно, что
отображение
<p: Gs ->- Gpi (I, М)-*М (18.14.6)
есть гомоморфизм, ядром которого является S'; следовательно, по теореме о
гомоморфизмах для групп оказывается, что S' - нормальная подгруппа группы
Gs, a Gp изоморфна факторгруппе Gs/S~.
Упражнение
1. Используя (18.14.4), найдите формулу для (1, М)-1. Затем
непосредственно проверьте, что S' является нормальной подгруппой группы
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed