Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
сопряженной с G0 подгруппой. Если aG"a_1 = G0 для всех а из G, то G0 <]
G. Поэтому нормальные подгруппы иногда называют самосопряженными
подгруппами. В группе 3'п сопряженными элементами являются элементы,
имеющие одинаковую структуру записи в виде произведений независимых
циклов, например (1732)(56)(4) и (4531 )(76)(2).
18.11. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ 3>i
Симметрическая группа 3'i помимо тривиальной подгруппы \е\ и самой G
имеет 22 подгруппы. Разбивая их по классам сопряженных подгрупп, мы
имеем:
22
Гл. 18. Элементарная теория групп
1) {е, (12)} и т. д.- шесть подгрупп;
2) {е, (123), (132)} и т. д.- четыре подгруппы;
3) (е, (1234), (13)(24), (1432)} и т. д.-три подгруппы;
4) {е, (12)(34)} и т. д.-три подгруппы;
5) {е, (12)(34), (13)(24), (14)(23) } = V 4- одна подгруппа;
6) {е, (123), (124), (134), (234), (321), (421), (431), (432), (12)(34),
(13)(24), (14)(23)}=^4-одна подгруппа;
7) {е, (12), (13), (23), (123), (321)} - четыре подгруппы.
Любая подгруппа из определенного класса (определенной строки приведенной
таблицы) может быть получена из любой другой подгруппы того же класса при
помощи внутреннего автоморфизма всей группы of 4. Например, при
отображении л -> (12) л (12) элементы группы {е, (134), (431)} переходят
в элементы группы {е, (234), (432)}. Мы видим, что единственными
нормальными (или инвариантными, или самосопряженными) подгруппами
являются V 4 и Л4, каждая из которых единственная в своем классе. Однако
каждая из подгрупп в классе 4 является нормальной подгруппой группы V4
(откуда следует, между прочим, что из G4<J<J2<IGS отнюдь не вытекает
G4<]G3). Полным так называемым композиционным рядом (см. ниже) группы of4
является ряд
{е\<]{е, (12)(34)}<JV4<J^4<]<*Y (18.11.1)
Для п^5 Ап является простой группой (она не имеет никаких нетривиальных
собственных нормальных подгрупп), так что композиционный ряд сводится к
ряду
Упражнение
1. Покажите, что Ль-простая группа (схема доказательства приводится
ниже). Допустите, что Go<^5> причем G0 ф {е}\ затем нужно доказать, что
Gb = Ab- Покажите, что G0 должна содержать элемент л одного из следующих
типов:
(а) (а Ь с), (б) (a b)(c d), (в) (abed е).
Тогд'1 группа G0 содержит все элементы ала-1, где а ? Ль\ покажите, что
она .одержит все элементы того же типа, что и л. Покажите, что если ,G0
включает все элементы одного из вышеуказанных типов, то она включает
элементы (а следовательно, вообще все элементы) обоих других типов;
например, если группе G0 принадлежат элементы типа (а), то ей принадлежит
и элемент (123) (234) = (21) (34). Почему это доказательство не проходит
для
Простота Ль является ключевым моментом в доказательстве Галуа
невозможности разрешить уравнение пятой степени в радикалах.
Композиционный ряд группы G представляет собой последовательность
подгрупп {G,-}, такую, что
{е} = G0 <] G4 <] ... < GA = G, (18.11.2)
18.12. Образующие элементы и определяющие соотношения
23
где G, -ф G,+1 и где уже невозможно никакое уплотнение, т. е. если G(- О
Н О G/+1, то или # = G,-, или # = G/+r Конечная группа всегда имеет
композиционный ряд. Если G-некоторая бесконечная группа, то может
случиться (см. упражнение 3 ниже), что любой ряд вышеуказанного типа
имеет уплотнение. Знаменитая теорема Жордана-Гёльдера гласит, что если G
имеет композиционный ряд (18.11.2) и если
М = я0<я1<]...<]я(=о
представляет собой любой другой композиционный ряд группы G, то (1) l=k,
(2) хотя подгруппы Ни . . ., Hh_i могут отличаться от Gj Gh_i, но по
меньшей мере факторгруппы
Я,/Я" Я1/Я1, ...,Я*/Я*_i (18.11.3)
будут теми же (с точностью до порядка), что и
Gx/G0, GjGit . -., Ga/G*_1; (18.11.4)
иначе говоря, последовательность (18.11.3) можно упорядочить таким
образом, что каждая группа в ней будет изоморфна соответствующей группе в
последовательности (18.11.4).
Упражнения
2. Как применить теорему Жордана - Гёльдера к композиционному ряду
(18.11.1) для группы ^4?
3. Покажите, что бесконечная циклическая группа не имеет композиционного
ряда.
4. Обозначим через множество всех конечных перестановок положительных
целых чисел {1, 2, ...}. (При каждой перестановке из все элементы,
кроме конечного их числа, переходят сами в себя.) Покажите, что
имеет композиционный ряд (е) О А*, <б ЗР*,-
18.12. ОБРАЗУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ.
СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ
Пусть G - некоторая группа. Говорят, что подмножество 5 = = {а, Ь, . . .}
элементов группы G порождает G, если любой элемент из G может быть
представлен в виде (конечного) произведения элементов, каждый из которых
либо сам принадлежит S, либо является обратным некоторому элементу из S.
(Эквивалентно: любой элемент g из G является произведением степеней
элементов из S; степени элемента были определены в § 18.2 *).) Для
полного описания группы, вообще говоря, необходимо указать не только
систему образующих этой группы (множество S), но и некоторые определяющие
соотношения между образующими. Например, цикли-
х) Элементы множества S в таком случае называются образующими элементами
