Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Решение нулевого порядка есть просто гармонические колебания
,_,"smW + P) p = Rq0 cos (oV+P),
где, как и прежде, R = (FIG)12 и ю0 = (FG)12. Определяя
угловую переменную посредством 0 = со0 t -j- |3, находим из
(2.3.59)
= arctg(-^-). (2.3.60)
Мы хотим перейти к новым "хорошим" переменным, не зависящим от быстрой
фазы. Для этого надо использовать преобразования
(2.3.43) и (2.3.44) последовательно в каждом порядке по е. Чтобы
найти необходимые производные Я и 0, продифференцируем (2.3.58),
подставляем в него (2.3.56) и получаем
Я = F'ф, (2.3.61)
120
Глава 2
где F' - производная по т. Из (2.3.58) и (2.3.60) можно выразить q и р
через Я и 0:
2 Н
F
2 Н
sin20,
(2.3.62)
cos*
Подставляя q1 в выражение для Я и учитывая равенство R'/R - = F12F, имеем
Я si п20,
или
3> = (Я, т) = zg(H, т, 0).
(2.3.63)
(2.3.64)
Аналогичным путем, дифференцируя (2.3.60) и используя (2.3.56),
определяем производную для угловой переменной:
R' Rq
1
Сй"
1
(ТЛ)-
Выражая Rqlp из (2.3.60) и преобразуя, получаем
0 = coo + e --sin 20 = со (Я, т, 0).
2 R
(2.3.65)
(2.3.66)
Уравнения (2.3.63) и (2.3.66) можно теперь использовать для получения
"хороших" переменных z и ф. Применяя (2.3.63), (2.3.64) и (2.3.66) при
вычислении выражения (2.3.49), в первом порядке •находим
<¦>- >)
(2.3.67)
и, согласно (2.3.51), й2 = (g). Полагая z = (Я, т), вычисляя интеграл
(2.3.50) и используя (2.3.51), получаем
Я = Я
1
f-)si
\ 2co0# }
sin 20
(2.3.68)
Аналогичные вычисления приводят к тривиальному результату
х = т, что'вместе с (2.3.68) позволяет определить в первом порядке
"хорошие" переменные z = (Я, т), так что z не зависит от ф. Подобным же
образом строятся и преобразования для угловой переменной ф.
Каноническая теория возмущений
121
Получив хорошие переменные, можно выразить через них интеграл движения
J =
2л
1 ? , __ 1 Г п dq
pdq = -1- f р (2.3.69)
2я J d\|)
2л
о
где р и <7 - функции Н и ф. В первом порядке по е достаточно' выполнить
интегрирование по 0 вместо ф: это упрощение использовано в работе
Нортропа и др. [321 ]. Используя выражения
(2.3.62) и вычисляя производную от q, получаем
J = -^cos2 0<20. 2я J co0
о
С помощью (2.3.68) в первом порядке по е находим
2 п _
J= -- i /1------------------- - sin 20) cos2 0d0.
2л J о)0 \ 2<"0 R /
о
Производя интегрирование, получаем выражение для адиабатического
инварианта
7=-=-/1+ '6^- sin 20 \ • (2.3.70)
0)0 О)0 \ 2co0R . /
Это выражение совпадает с выражением (2.3.27), полученным'в'ка-нонической
теории возмущений. Если Н вычисляется в области, где параметры не
изменяются, то R' = 0 и мы приходим к обычному выражению
- = const, (2.3.71)
со0
которое, как это видно из (2.3.70), справедливо только в нулевом порядке.
§ 2.4. Резонансная теория возмущений 0
Вблизи резонанса невозмущенной системы малые знаменатели появляются уже
при вычислении адиабатических инвариантов первого порядка (см. § 2.3).
Эти знаменатели можно устранить
В В оригинале - secular perturbation theory (секулярная теория
возмущений). Принятый в переводе термин более непосредственно отражает
назначение теории, тогда как секулярной в прямом смысле является
классическая нерезонансная теория возмущений (см. § 2.2).- Прим. ред.
.122
Г лава 2
путем канонического преобразования к специальным (резонансным)
переменным. Такое преобразование можно наглядно представить себе как
переход во "вращающуюся" в фазовом пространстве систему отсчета. При этом
новые переменные описывают медленные фазовые колебания на резонансе,
центр которого соответствует неподвижной эллиптической точке на новой
фазовой плоскости *). Такая техника применялась ранее в нелинейной теории
движения частиц в ускорителях (см. [255 ], где приведена также
дополнительная литература) и при изучении электронного циклотронного
резонанса в магнитной ловушке [367]. Этот метод близок к использованному
Чириковым в работе [67] 2). После устранения резонансных знаменателей
применяются описанные выше (§ 2.3) методы усреднения по быстрой фазе. В
дальнейшем рассматривается автономная гамильтонова система с двумя
степенями свободы. Обобщение на неавтономные системы не представляет
труда путем введения расширенного фазового пространства (см. § 1.2).
Если возмущение достаточно велико, то появляются вторичные резонансы,
которые могут в свою очередь изменить или разрушить интегралы первичных
резонансов, вычисленные в п. 2.4а. Малые знаменатели вторичных резонансов
можно устранить аналогично тому, как это делается для первичных
резонансов (п. 2.46). Механизм, с помощью которого вторичные резонансы
разрушают интегралы первичных резонансов, повторяет механизм разрушения
невозмущенных интегралов первичными резонансами; он составляет основу
методов анализа перехода от регулярного движения к хаотическому в
гамильтоновых системах (гл. 4).
В качестве иллюстрации в п. 2.4в рассмотрен резонанс между волной и
частицей, который описан ранее в п. 2.26. Отыскивается резонансный
