Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
(2.4.32). Разлагая вторую экспоненту, получаем
Кг - ' ГImn 10,/) ехР
1,т,п
in ф! -ь i (I - + т) ф2
(2.4.48)
где
И (W
(2.4.49)
a fn - функция Бесселя. Из (2.4.48) [видно, что возможны ре-
Каноническая теория возмущений
133
зонансы между ф2 и Фк поэтому усреднение по ф2 может привести к отличному
от нуля результату. Чтобы получить новый инвариант, запишем полный
гамильтониан, используя (2.4.43) и (2.4.48) в виде
К - КоС/хЛНе^АЛ.ФъФа), (2.4.50)
аналогичном гамильтониану (2.4.1) с некоторым новым параметром возмущения
е2. Эта аналогия позволяет для устранения сингулярности вторичных
резонансов снова использовать метод, описанный в п. 2.4а. Рассмотрим
резонанс
(2.4.51)
(01 Я
где
ща=-^- = ща~1, (2.4.52)
д/?
а1 = _^о__812 (2.4.53)
д! 1
согласно (2.4.4) и (2.4.30). Аналогично (2.4.6) перейдем к новым
переменным 7Х, Т2, ф1( ф2 с медленной фазой
Ф1 = РФ1-<7Фг (2.4.54)
Соответствующая производящая функция имеет вид
Fz= (рфх-<7 ф2)'?1 + ф2^2- (2.4.55)
Усреднение (2.4.48) по быстрой фазе <р2 с учетом (2.4.51) приводит к
соотношению
nq+^l-y +m^p = 0,
где 1st г - целое число. Это соотношение удовлетворяется, если в (2.4.48)
оставить только слагаемые с
п=-/р, l = kr, m = iq-ks, (2.4.56)
где /, k - любые целые числа. При / = ± 1, например, p-я гармоника
фазовых колебаний по <рх находится в резонансе с q-й гармоникой колебаний
по <р2 = 02; резонансам более высоких гармоник отвечают значения |/|>1.
Выполняя усреднение для гамильтониана К, получаем
K = Ko(luh) + &2К1 (/1, / 2" Ф1)" (2.4.57)
Ж, (7)-К, (/,(7), /,(/)), (2.4.68)
Х,-^Х_,рле-,й'. (2.4.59)
134
Глава 2
В последнем выражении амплитуда Фурье /'-й гармоники колебаний по равна
K-M.-EV"-*-!". <2'4Ю>
k *
Поскольку К не зависит от <р2, мы сразу же получаем адиабатический
инвариант фазовых колебаний
72 = /2 + - /х = const (2.4.61)
(таким образом, фазовые колебания оказываются интегрируемыми). Сравнивая
выражения (2.4.57) и (2.4.59) с (2.4.10) и (2.4.12), видим, что все
результаты п. 2.4а применимы и в отношении вторичного резонанса (см.
также рис. 2.9, в).
Амплитуда фазовых колебаний. Для оценки величины вторичного резонанса
возьмем наибольший член в (2.4.60) с | /1 = 1 и
| k \ = 1,
а также положим <7=1, что отвечает резонансу с основной часто-
той невозмущенных колебаний по 02 = ф2. Из (2.4.49) следует, что он
пропорционален функции Бесселя
fp [(2IJR)^],
причем индекс р - целое число и в силу (2.4.51) имеет порядок е 1 2. Так
как /1макс порядка R, то максимальное значение аргумента (2/1/Д)12
порядка единицы. Отсюда при большом р (малом е) функцию Бесселя можно
оценить как
-------------------------- (2.4.62)
Ч V R ) р! \ 2 R / (е-|!)|
Из этого выражения следует, что амплитуда Фурье резонансного члена
пропорциональна /f 2, так что размеры резонанса быстро падают с убыванием
Iг. Заменяя в формулах (2.4.30), (2.4.31) H_riS на K-p,q и учитывая
оценку (2.4.62), приходим к заключению, что амплитуда и частота колебаний
Т1 меньше, чем для по крайней мере в |(e~1/2)l]1/2 раз. Явное выражение
для гамильтониана вторичного резонанса будет получено в п. 2.4в.
Хотя анализ вторичных резонансов проводится аналогично анализу первичных
резонансов, полученные результаты обладают некоторыми особенностями. Так,
размер вторичного резонанса зависит от ? значительно сильнее, чем
первичного (~ е|/2), поэтому при достаточно малом е вторичные резонансы
несущественны *). С другой стороны, при относительно больших е для
определения границы справедливости адиабатической инвариантности
вторичные
Б Напомним, что этот вывод, как и вышеприведенные оценки для вторичных
резонансов, справедлив лишь для малых фазовых колебаний на первичном
резонансе. Вблизи сепаратрисы резонанса положение существенно, изменяется
(см. п. 4.361.- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
135
резонансы могут быть столь же важны, как и первичные резонансы.
Быстрое уменьшение размера вторичных резонансов с возмущением приводит к
устойчивости движения внутри резонансов (в "островах") при умеренной
величине возмущения. Более того, даже при весьма больших возмущениях,
как, например, в случае на рис. 1.13,е, интегралы движения сохраняются не
только внутри первичных, но и внутри вторичных резонансов. Следствия этой
устойчивости будут более подробно рассмотрены ниже.
Описанная процедура устранения малых знаменателей вторичных резонансов в
окрестности центра первичного резонанса [213] является одним из вариантов
метода ренормализации, в котором преобразование от резонанса я-го порядка
к резонансу (п Д 1)-го порядка строится таким образом, чтобы сохранить
форму гамильтониана, изменяя лишь его параметры. Эта идея является
основой некоторых методов анализа перехода от регулярного движения к
хаотическому; эти методы анализа будут рассмотрены в гл. 4.
2.4в. Резонансное взаимодействие волны и частицы
Вернемся к примеру [в п. 2.26 - влиянию электростатической волны на
движение заряженной частицы в магнитном поле. Рассмотрим случай резонанса
