Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 43

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 942 >> Следующая

фазового пространства, а при достаточно сильном возмущении и разрушение
инвариантов. Таким образом, "адиабатический" инвариант, представляемый
асимптотическим рядом, является в пределе е 0 приближением порядка ехр (-
Ь/е) точного решения, траектория которого может лежать: а) на гладкой
инвариантной поверхности, б) на инвариантной поверхности резонанса, в) в
тонком стохастическом слое.
Второе свойство асимптотических рядов заключается в их формальной
расходимости: для любых фиксированных ей t имеем 3)
|x(t, г) - X"(t, е)(->-оо, п-+оо. (2.3.5)
Общее поведение Хп с ростом п при фиксированном е иллюстрируется на рис.
2.6, б. Вначале увеличение п улучшает аппроксимацию, но для п, больших
некоторого лмакс (е), последующие приближения становятся все хуже и хуже
и расходятся при п-э-сл. Поэтому следует вычислять лишь ямакс первых
членов разложения, сумма которых будет отличаться от точного решения,
грубо говоря, на величину последнего (с номером л"аКс) члена.
Наконец, отметим, что асимптотическое разложение для адиабатических
инвариантов несправедливо на интервалах времени, значительно превышающих
время "медленных" изменений в системе; иными словами, адиабатический
инвариант не может даже приближенно сохраняться при ?оо. Такое
несохранение адиабатических инвариантов, известное как диффузия Арнольда,
возникает в системах с тремя и более степенями свободы и является
основным содержанием гл. 6.
Медленное возмущение. Рассмотрим отличие в порядках членов разложения для
случая, когда возмущение мало и когда оно медленное, или
"адиабатическое". Для малого возмущения гамильтониан имеет вид
H=H0(J, t)-\- 0, t) -(- . . . ,
где #0 описывает полностью интегрируемое движение, а е - малый параметр,
характеризующий величину неинтегрируемой части Н. Для малого возмущения
производные от #0 и полагаются величинами того же порядка, что и сами Д"
и Н 1г т. е.
дН 0 dt
я"1,
дН1
dJ
Hi\,
*) Для экспоненциальной малости существенна аналитическая зависимость
параметров от времени (см., например, [11,244, 464]).- Прим. ред.
2) А также в случае явной периодической зависимости параметров от
времени.-• Прим. ред.
3) Это не всегда так, как показывает только что рассмотренный пример
функции Лх (t), определяемой формулой (2.3.3) (см. также [465], § 1.3).-
Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
107
Для медленного возмущения производные по времени принимаются по порядку
величины в е раз меньше тех членов, из которых они получены, т. е.
дН о
' 6 I #01
dt
Чтобы явно выделить эти порядки величин, запишем
#"= Я0(Я),
так что
дН0
dt
= еЯ о,
где штрих означает дифференцирование по аргументу т = et.
В этом параграфе нас будут интересовать такие системы, для которых
изменения во времени и движение по всем степеням свободы, кроме одной,
являются медленными. С учетом этого запишем гамильтониан в виде
Я = Я0(/, еу, е/) + еЯ1(/, 0, еу, е0+ • • • > (2.3.6)
где /, 0 - переменные действие - угол для невозмущенного
(е = 0) движения по единственной "быстрой" степени свободы, а У = (Р, Я)
- "медленные" канонические переменные (не обязательно действие-угол) по
остальным степеням свободы. Так как при 8 = 0 система имеет фактически
одну степень свободы, она всегда является интегрируемой и можно ввести
переменные /, 0. При этом малый параметр е в (2.3.6) будет
"автоматически" давать правильные порядки величин при дифференцировании Я
в рядах теории возмущений.
* 2.36. Каноническая адиабатическая теория
Построим классический адиабатический инвариант с точностью до первого
порядка для гамильтониана (2.3.6). В нулевом порядке таким инвариантом
является действие /, связанное с быстрой степенью свободы. Чтобы учесть
эффект возмущения еНх, произведем, как и в п. 2.26, преобразование от /,
0, _у к /, 0, _у, такое, что новый гамильтониан
Н = Н0+еН1+ . . . (2.3.7)
не будет зависеть от "быстрой" фазы 0. Вводя производящую функцию
S = 7Q+p.qjr?s1{J> Q, ~р, q, t)-\- . . . , (2.3.8)
108
Глава 2
получаем в первом порядке по е:
J - J -f е ц-'11 -, (2.3.9а)
dS1
0 = 0 - 8 (2.3.96)
dJ
Р = Р + е-^, (2.3.9b)
dq
q = q-e -d-1 - • (2.3.9r)
dp
Подставляя эти выражения в Я0 и удерживая члены порядка'е, находим
H0(J, гу, еЛ=Я0(/, гу, &t) + есо , (2.3.10)
дв
(2.3.11)
где со = dHJdJ - быстрая частота. Заметим, что члены
дН0 dSt дН0 dS±
_ * - > - * -
dq dp dp dq
имеют второй порядок малости по е и потому опущены. С помощью выражения
(1.2.13в) получаем
Я (7, 0, гу, et) = H(J, 0, еу, eQ + e-3-S(^ е<)- .
d(et)
(2.3.12)
Разлагая Я, Я и S, используя (2.3.9) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях е, находим в нулевом порядке
Я0 (7, гу, гt) = Я0 (J, гу, г^ (2.3.13)
и в первом порядке
Нх{ 1, в, гу, г() = со^- +Н1(7,в,гу, е/), (2.3.14)
ав
где S1 - S1(J, 9, еу, е?), а член dSJdt в (2.3.12) имеет второй порядок
малости и поэтому не вошел в (2.3.14).
Выберем теперь Sx таким образом, чтобы исключить переменную по 0 часть
Нг. Считая медленные фазы постоянными/введем среднее только по 0
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed