Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
между невозмущенным ларморовским вращением частицы и колебаниями волны.
Как мы видели выше, в этом случае нельзя найти интегралы движения с
помощью классической теории возмущений из-за появления резонансных
знаменателей. Однако резонансная теория возмущений дает возможность
устранить эти знаменатели локально. Следуя работе [267], рассмотрим две
задачи: 1) волна распространяется под углом к магнитному полю (kz Ф 0),
что соответствует невырожденному случаю; 2) волна распространяется
перпендикулярно магнитному полю (kz = 0), что соответствует вырождению.
Невырожденный случай. При kz Ф 0 условие резонанса (2.2.71) выполняется
для различных значений т и импульса частицы Рг. Выберем определенный
резонанс m = / и перейдем к резонансным переменным с помощью производящей
функции (2.4.5), которая для гамильтониана (2.2.67) принимает вид
К2= (ф-/ф) Р^ + фРф.
(2.4.63)
Имеем
Н =
2М
т
X sin [ф-(т-/)ф], (2.4.64)
где р - функция переменных действия. Достаточно близко от ре-
136
Глава 2
зонанса переменная ф изменяется медленно и можно провести усреднение по
быстрой фазе ср. В результате остается единственный член с т = / и
усредненный гамильтониан равен
Н = -ffj) + & (Рф- ^-ф) - ЕфЮ + ееФ0/1 (&лр) sin ф. (2.4.65) 2 М
Если произвести замену ф -> ф + л/2, так что sin ф -> cos ф, то
Н примет вид (2.4.16). Так как Н не зависит от ср, имеем
Р9 = Р9 + 1Р* = Р'Ю. (2.4.66)
Согласно (2.4.18) и (2.4.20), неподвижные точки соответствуют
фо = 0; л (2.4.67а)
и
Ap*-/Q- со = ± ееФ0-_- fi (k±p), (2.4.676)
м '
где
р=(~-)1,2(^Ф-^)12- (2.4.68)
Уравнение (2.4.676) неявно определяет величину Рф0. Линеаризуя
по Ру (но не по ф), получаем гамильтониан маятника (2.4.27) с параметрами
[см. (2.4.28) и (2.4.29) ]
°=4' (2-4'б9>
F = -кгФ"/, (*j.p0). (2.4.70)
Согласно (2.4.30), частота малых^колебаний равна
е"фо11/2
(2.4.71)
М I
Максимальная амплитуда (на сепаратрисе) получается из (2.4.31)
ДРфмакс=-^* (2.4.72)
О
Как Ыф, так и ДРфМаКс пропорциональны е1/2. Определим с помощью (2.2.71)
расстояние между соседними резонансами
бЕф = -- • (2.4.73)
Отношение удвоенной амплитуды колебаний импульса к расстоянию между
резонансами равно
2АРф макс 4(аФ _ ^2 4 74)
бРф Q
Каноническая теория возмущений
137
Вырождение. Сравним полученные результаты с вырожденным случаем, когда в
гамильтониане (2.4.65) kz = 0. Проводя разложение в окрестности центра
резонанса как по ДРф, так и по Дф, приходим к гамильтониану
гармонического осциллятора с
й = ееФо-
аа
дР\
f i (Mo),
F = -ееФ0/ i(k±p0)-
(2.4.75)
(2.4.76)
Частота малых колебаний и максимальное отклонение импульса равны
а2
еФй$i ¦
дР,
fi
1/2
ДР,
ф макс
_ 2йЧ
(2.4.77)
(2.4.78)
Здесь со^ имеет порядок е, а ДР^макс порядка единицы. Сравнивая (2.4.77)
с (2.4.71) и (2.4.78) с (2.4.72), мы видим, что при вырождении частота
малых колебаний в е-1/2 раз меньше, а максимальное отклонение импульса во
столько же раз больше, чем при отсутствии вырождения.
В отличие от случая волны, распространяющейся под углом к магнитному
полю, частота возмущения теперь фиксирована и равна со, поэтому резонанс
возможен с одной из гармоник частоты ?2, хотя и при разных значениях
импульса Р^. Действительно, подставив kz = 0 в (2.4.676), получаем
уравнение
со -j- t ?2 ?б?Фо
ЭР,
fi (/г±р) = 0,
(2.4.79)
определяющее значение Рф для неподвижных точек. Корни этого уравнения
лежат в некотором интервале значений kLp. Для со + /?2 = 0, например, их
можно найти из условия
ЭР,
fi (А^р) = 0.
(2.4.80)
Если же со + /?2 = бсо, то, согласно (2.4.79), резонанс имеет место при
условии
(2.4.81)
ееФ0 -~ ft (h±p) бсо
дР$
В рассматриваемой задаче вырождение возникает, когда направление
распространения волны становится нормальным к магнит-
138
Глава 2
ному полю. Чтобы увидеть, как происходит переход, учтем члены порядка е в
выражении (2.4.38) для параметра G:
ь2 д2
G --
М
ееФ0
дР
/ДКр).
¦ф
Вырождение наступает при
** < ееФ0 ( --- fi {k±p]
м
дР.
(2.4.82)
(2.4.83)
Вторичные резонансы. Для получения гамильтониана вторичного резонанса,
как и в п. 2.46, перейдем к переменным I, 0 для малых фазовых колебаний.
При 0 находим
К0 (JjBф) -
16
G72 + . .
ф = ф0-
21 \ 3/2
'sin 0 + 6? (е),
(2.4.84)
(2.4.85)
где G и Ыф определяются выражениями (2.4.69), (2.4.71), a R = = (FiGfВ.
Низший порядок возмущения выражается в переменных /, 0 аналогично
(2.4.47)
Ki = еФ,
{k__
тф1
= еФ0^/т(к±Р)/п
п,тф1
Фо + | 21
sin
R
Г/ 21 \ 1 21
Г R / . sin
j sin 0 - (т - /) ф ф0+ "0 - (т - Г) ф
(2.4.86)
Оставляя главный член суммы с т = I + 1, для резонанса гармоники п
получаем
Кг = Кп sin (фо + пб-ф), (2.4.87)
где
Кп - еФс$г+j (k±p) f п -
Перейдем к новым медленным переменным 6 = п0-ф +ф0-
/ = "/.
(2.4.88а)
(2.4.886)
Каноническая теория возмущений
139
Усредняя (2.4.86) по быстрой фазе ср, находим гамильтониан вторичного
резонанса
АК = ~0ДД7)2- Kscos9, (2.4.89)
где для Gs и Fs с помощью формул (2.4.84) и (2.4.87) при е zee 1
