Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
каноническом случае была бы переменной действия для быстрой степени
свободы. Преобразования переменных можно представить, как и в
каноническом случае, в виде разложения по малому параметру е.
Общий метод усреднения заключается в том, чтобы найти такие "хорошие"
переменные 2 и ф, эволюция которых не зависит от ф:
Z= eh (z),
• n. . (2.3.39)
Ф = Й(г), v
причем z, ф, h и Q можно определить независимо в каждом порядке по е.
Необходимо, таким образом, найти четыре уравнения, устанавливающие связь
величин n-го порядка с теми же величинами (п-1)-го порядка. Поскольку
величины нулевого порядка можно определить непосредственно, то полное
решение находится по индукции. Для получения этих соотношений выразим
полные производные (2.3.39) через переменные у" и 0 с помощью выражений
(2.3.38) и уравнений преобразования z = Z (у, 0), ф = ф (у, 0):
• дг . , ,
z = WyZ-eg+ ^_С0 = еЛ (г)>
ф" = у ф-eg-j-^_co = Q(^).
(2.3.40)
(2.3.41)
Дополнительно потребуем периодичности z и ф:
z{y, 0 + 2я) = г(у, 0),
ф(_у, 6 + 2я) = ф(_у, 0) + 2я.
Из последнего выражения видно, что ф играет роль угловой
переменной. Для определения z и ф как функций у и 0, введем
произ-
вольно следующие начальные условия:
г(у, 0) = у,
<2-3'42)
Возможен и другой выбор начальных условий, однако выбор (2.3.42) упрощает
преобразование переменных. Получим теперь выражения, позволяющие
определять г, ф, А, Й в любом порядке по е. Предпо-
Каноническая теория возмущений
117
ложим пока, что мы сумели каким-то образом найти величины у), 0, g и со
точно, хотя в действительности их можно представить и в виде разложений.
Разделив (2.3.40) на со, интегрируя и определяя постоянные из начальных
условий, получаем
Уравнения (2.3.43) и (2.3.44) являются теми четырьмя уравнениями, которые
позволяют находить неизвестные величины z, Ф, A, Q в любом порядке по е.
В канонической теории они соответствуют разделению уравнения (2.3.14) для
производящей функции на среднюю и переменную части *).
Следующим шагом является разложение Z и ф в ряд по степеням е, например:
после чего h и Q также можно представить рядами, например:
(2.3.46)
В нулевом порядке по е имеем z0 = у. В первом порядке эти переменные
определяются из выражений (2.3.43) и (2.3.44) при z = у и h = hr
следующим образом. Из (2.3.43а) находим
е
е
(2.3.43а)
о
е
(2.3.436)
о
Условия периодичности дают
2я
(2.3.44а)
о
(2.3.446)
о
г = Z znen,
(2.3.45)
П
eh (z) - ehi (z0) -(- е2 й2 (Zq) + Zi --- hi (Zo) -г •
(2.3.47)
о
l) См. уравнения (2.3.49) - (2.3.52).- Прим. ред.
i 18
Глава 2
в из условия периодичности (2.3.44а)
2 п
$ (Ai(2)-Vyy*)-f- = 0. (2.3.48)
О
Используя g = g и определяя среднюю часть соотношением
2зх 2 я
<*>=S -f-' ^2-3-49)
о о
а интеграл от переменной части g посредством
е
?= (2-3.50)
о
получаем из (2.3.48) и (2.3.47)
*1 (Z) = (g), (2.3.51)
z1=-'g. (2.3.52)
Аналогичные вычисления с использованием уравнений (2.3.436) и (2.3.446)
определяют ф в первом порядке по е. Заметим, что физический смысл этих
преобразований заключается в том, что в каждом порядке переменные
определяются таким образом, чтобы их средняя часть была равна нулю и
интегрирование по углу не приводило бы к появлению секулярных членов.
Сами переменные могут иметь при этом различную природу. Для
осциллятора с одной степенью свободы и медленно
изменяющейся частотой вели-
чина у может быть гамильтонианом. В случае нескольких степеней свободы с
не зависящим от времени гамильтонианом величина у может представлять
вектор переменных действия. В любом случае, согласно формальной схеме
Крускала, инвариант должен определяться обычным образом:
2 К N
<2ИЗ)
0 к = 1
где pt, qk могут быть либо компонентами z, либо в более общем случае
функциями от Z. Крускал демонстрирует каноническую природу J и ф,
вычисляя для них скобки Пуассона
[ф, /] = 1. (2.3.54)
Фактическое вычисление является довольно сложным, но уже сам вид
выражения (2.3.53) для J показывает, что это действительно переменная
действия.
Каноническая теория возмущений
119
Медленно изменяющийся осциллятор. Проиллюстрируем метод Крускала на
примере изменяющегося во времени гармонического осциллятора. Хотя этот
метод был разработан для применения в многомерных системах, его основные
черты можно показать и на одномерной модели. Имеем
-g- = -F{*t)q,
dt (2.3.55)
- = Gp,
dt
причем для упрощения принято G = const. Чтобы привести (2.3.55) к
стандартному виду автономной системы уравнений первого порядка, введем
новую независимую переменную т = et. Обозначая точкой производную по
времени, получаем
p=-F(x)q, (2.3.56)
q~Gp,
т = е.
В нулевом порядке по е имеем т = const и, следовательно, F = = const.
Пусть векторная переменная _у равна
У = {Н, т), (2.3.57)
т. е. имеет компоненты Них. Здесь Н - гамильтониан системы
Н = -<72 5-р2, (2.3.58)
который в нулевом порядке сохраняется. Величины Них являются (с точностью
до знака) каноническими переменными расширенного фазового пространства.
