Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 42

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 942 >> Следующая

(Pif) от ф при ф = jt, полученные Карни [219]. Хотя ф и k р не являются
канонически сопряженными переменными, тем не менее основные черты
фазового пространства системы представлены правильно. Для сравнения на
рис. 2.5, а и б показаны фазовые тра-
ь±р
кхр
Рис. 2.5. То же, что и на рис. 2.4 (численное моделирование) (по данным
работы [219]).
Крестиками отмечены начальные условия,
ектории, полученные Карни численно. Так как для невозмущенной системы со
= - 30,11 Q и при малой амплитуде возмущения все инвариантные кривые
лежат достаточно далеко от первичного резонанса, то аналитические и
численные результаты хорошо согласуются. С ростом возмущения частота
колебаний изменяется и система может попасть в резонанс. Однако
производящая функция первого порядка, имеющая полюсы на невозмущенных
резонансах, остается при этом конечной и воспроизводит грубые черты
поведения системы вблизи резонанса. Резонансы высших порядков таким
методом найти нельзя; для этого требуется провести вычисле-
104
Глава 2
ния во втором порядке резонансной теории возмущений (§ 2.4). Области
хаотического движения вообще не описываются рассматриваемой теорией
возмущений, однако их размер можно оценить, как это будет показано в гл.
4.
§ 2.3. Адиабатическая инвариантность * 2.3а. Введение и основные понятия
В п. 2.16 мы видели, что для осциллятора с медленно и апериодически
изменяющимся параметром можно построить разложение, которое дает
адиабатический инвариант движения. Параметром разложения являлось
отношение периода быстрых колебаний осциллятора к характерному времени
медленного изменения параметра. Такую же процедуру можно использовать и в
многомерных системах для построения рядов, не содержащих явно малых
знаменателей. Этот метод, впервые предложенный Пуанкаре [337], был затем
более строго обоснован Биркгофом [29].
Систематическая техника таких разложений, разработанная Боголюбовым и
сотр. [242, 33, 32], получила название метода усреднения 1). Несколько
иная форма этого метода, более подходящая для канонического
представления, была предложена Круска-лом [239] (см. п. 2.3г). Крускал
показал, что адиабатические инварианты можно построить в любом порядке по
параметру разложения и что получающиеся при этом ряды оказываются
асимптотическими. В работах Боголюбова и Крускала рассматривается широкий
класс систем дифференциальных уравнений, не обязательно гамильтоновых.
Полезные канонические формы методов вычислений были введены Мак-Намарой и
Уайтменом [292 ] и Штерном [391, 392]. Однако в более высоких порядках
разложения на смену им пришла техника преобразований Ли [290] (см. §
2.5). Связь между различными методами рассматривается в обзорах Мак-
Намары и Уайтмена [292] и Джакальи [153].
Асимптотические ряды. Биркгоф [29] впервые показал, что осциллятор с
медленно,изменяющейся частотой
лг-)-со2(е/)х= 0
В В оригинале - multiple scale method of averaging [метод усреднения с
несколькими масштабами (времени)] -термин, который в отечественной
литературе не употребляется. Заметим, что понятие усреднения (как
приближенного метода) уже подразумевает наличие в задаче по крайней мере
двух различных масштабов времени. По поводу специальных методов теории
возмущений, в которых эти масштабы вводятся явно, см., например, работу
[313].- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
105
допускает решение в виде асимптотического ряда. Это значит, что
последовательные приближения
Xn(t, е) = 2 Ак(9
k=Q
(2.3.1)
точного решения х (t, е) можно построить таким образом, что для любых
фиксированных nut
lime"" [x{t, е) -
е-^-0
-*"(*, е)]=0. (2.3.2)
Напомним некоторые важные свойства асимптотических рядов. Во-первых, две
различные функции могут соответствовать одному и тому же асимптотическому
ряду. Поэтому построение асимптотического ряда еще не определяет
однозначно представляемую им функцию.
Предположим, что две функции хх и х2 отличаются на экспоненциально малую
величину при е-И):
Ах= a (t) ехр [ - b (*)/"]•
(2.3.3)
Так как
'"ехр(-Ые) = 0,
(2.3.4)
lim е
?~*0
Ах
0,1
0,01
0,001
0,0001
\Х_ ~х\
ГС ма. КС
J I L
10
то асимптотическое разложение функции Дх есть Хп = 0 для всех п (см. рис.
2.6, а). Следовательно, функции х j и х2 представляются одним и тем же
асимптотическим рядом.
Фактически прямые вычисления обнаружили такие экспоненциально малые
изменения адиабатических инвариантов в колебательных системах с медленно
Рис. 2.6. Свойства асимптотического ряда* а - функция Дх = ехр (- 1/е),
для которой асимптотическое разложение есть тождественный нуль; б -
расходимость асимптотического ряда при фиксированном е. Последовательные
аппроксимации X вначале приближаются к истинному значению х, а затем
удаляются от него. "Наилучшая" аппроксимация отвечает номеру п =
106
Глава 2
изменяющимися параметрами1) (см., например, [81, 191, 200]). Для
многомерных систем 2) эти экспоненциально малые изменения инвариантов
являются следствием резонансов, вызывающих топологическую перестройку
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed