Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Если выпустить из каждой точки некоторого замкнутого контура С линию тока (рис. 11), то в пространстве образуется трубка тока.
Для дальнейшего изложения понадобятся некоторые понятия и теоремы векторного анализа [36].
Пусть в ортогональной декартовой системе координат в M3 с базисными векторами ki заданы векторы: а = щкі,
Ь = biki, с = Ciki (рис. 12). Напомним два типа умножения векторов а и Ь.
а) Скалярное произведение векторов. Для базисных векторов ki • kj = Sij. Тогда
а -Ъ = aiki • bjkj = CLibjSij = а&. (2.12)
Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, кроме того: а • Ь = Ь • а.
б) Векторное произведение векторов. Для базисных векторов ki х kj = Cijkkk, где Cijk — трёхиндексный символ JIeeu-Чивиты:
^ 123 = б231 = б312 = —^213 = ^ 132 = “б321 = 1- (2.13)
Остальные же компоненты е^ь т. е. те компоненты, где хотя бы два индекса одинаковы, равны нулю. Тогда
a xb = щкі х bjkj = cijkcabjkk- (2-14)
Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю, кроме того: а х Ъ = —Ь х а.
Заметим, что модуль векторного произведения (2.14) векторов а и Ь численно равен площади S параллелограмма, “натянутого” на эти векторы (рис. 12):
\а х Ь I = \а ||Ь I since = Е. (2.15)
Вводя единичный вектор нормали п к поверхности Е,
п = щкі, \п\2 = щщ=1, (2.16)
Рис. 11
24
Лекция 2
можно определить площадь S как векторную величину:
S = Sn = \а х bln = а х b = SzЬ,
11 (2.17)
Sn, — CijfcCLibj — S,.
в) Смешанное произведение трёх векторов.
(a xb) • с = (Ь х с) • a = (сх a) -b = CijkCLibjCk- (2.18)
Модуль величины (2.18) представляет собой объём V паралле-
лепипеда, “натянутого” на векторы а, Ь и с (рис. 12):
V = I (а х Ь) • с I = = |Е • с |. (2.19)
Смешанное произведение трёх компланарных векторов равно нулю.
Введём в рассмотрение дифференциальный оператор V — набла. Его компонентами являются операторы частного дифференцирования:
V = -^-ki = дА (2.20)
Oxi
Применяя рассмотренные выше виды умножения к V, получим
V • а = дфі • CLjkj = Sijdiaj = діЩ = diva, (2.21)
Vxa = дфі х ajfcj = б^^Да^ = rota, (2.22)
Vip = diLpki = grad (/9, (2.23)
где ??(хі,Ж2,хз) — некоторая скалярная функция.
Векторное поле а(хі,х2,хз) называется потенциальным, если существует такое скалярное поле у?(жі, #2, хз), что
a = grad Lp. (2.24)
Поле Lp носит название скалярного потенциала а.
Векторное поле а(хі,х2,хз) называется соленоидалъным, если существует такое векторное поле Ф{Х\,Х2,Х%), что
CL = Vottf. (2.25)
Поле ф носит название векторного потенциала а 0 .
Дифференциальные операторы diva и rota называются дивергенцией и ротором векторного поля а, а оператор grad Lp —
О Справедлива теорема Гельмгольца: всякое векторное поле a(x,t) может быть однозначно (с точностью до функции времени) представлено в виде: a = grad(/? + rot
Элементы векторного анализа
25
градиентом скалярного поля Lp. В дальнейшем выясним механический смысл введёных дифференциальных операторов, а пока определим линейный оператор второго порядка
А(р = div grad Lp, (2.26)
называемый оператором Лапласа скалярного поля Lp.
Докажем, что для любых скалярного поля Lp и векторного поля а выполняются тождества
a)divrota = 0, б) rot grad Lp = 0. (2.27)
Воспользуемся определениями (2.21)-(2.23).
а) div rot a = div (cijfcdiCLjkfc) = tijfcdidfcdj = 0, в силу того что символ Леви-Чивиты Cijk антисимметричен по индексам і и к (см. (2.13)), а смешанная производная didfcdj по і и к симметрична. Следовательно, их свёртка по этим индексам равна нулю.
б) rot grad if = rot (кідіф) = ejikdidjipkk = 0.
Для того чтобы поле а было потенциально, необходимо и достаточно, чтобы rota = 0, а для того чтобы оно было соленои-дально, необходимо и достаточно, чтобы diva = 0. Если поле а одновременно потенциально и соленоидально, то его скалярный потенциал, очевидно, является гармонической функцией, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа
Aip = 0, (2.28)
и наоборот, любой гармонической функции можно поставить в соответствие векторное поле, являющееся и потенциальным, и соленоидальным [20].
Рассмотрим теперь в качестве а поле вектора скорости v(x\, Х2, хз, t). Все ранее сформулированные определения и утверждения применимы теперь К V. Скалярный и векторный потенциалы скорости будем по-прежнему обозначать Lp и ф соответственно. Введём также в рассмотрение вектор вихря и:
rot гГ, (2.29)
являющийся, очевидно, соленоидальным. Векторные линии поля Х2, хз, t) носят название вихревых линий. Если же из каждой точки замкнутого контура выпустить вихревую линию, то в пространстве образуется так называемая вихревая трубка.
Свяжем с вектором вихря антисимметричный тензор вихря, или спин-тензор, и:
Uij — CijfcLdfc. (2.30)
26
Лекция 2
Подставляя соотношения (2.29) в (2.30), получим ^ij = 2eijkeklmdlvm = ^ ^imSjl) ^iVrn =
= 2^,i ~ Vi,i^’ (2*31)
т. е. компоненты тензора вихря — антисимметричная часть объекта Vjj, называемого градиентом скоростей. Его симметричную часть будем обозначать уц\
