Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Победря Б.Е. -> "Основы механики сплошной среды" -> 11

Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.

Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 272 c.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка): osnovimehanikisploshnoysredi2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 76 >> Следующая


dj/ = а • ё3В3^ = OjBj-,. (3.22)

Наконец, используя второе разложение (3.12) вектора а в старом

и новом базисе, запишем

а = Oiёг = Oiiё1 = OiB1i,ёг , (3.23)

откуда

Zi' = Аг'гёг. (3.24)

Теперь выясняется смысл введения верхних и нижних индексов. Как видно из (3.19) и (3.24), величины с верхним индексом преобразуются с помощью матрицы A1i (контравариантный закон преобразования), а величины (3.16) и (3.22) с нижним индексом — с помощью обратной и транспонированной к A1i матрицы B1i, (ковариантный закон преобразования).

Назовём компонентами тензора (п + т)-го ранга, п раз ковариантными и т раз контравариантными, систему величин Oiii injlj2"'jrn, преобразующуюся при переходе к новой системе координат (3.13) по закону (тензорному закону) [48,50]
Инвариантность кинематических величин

39

3\32---Jm

(3.25)

Чтобы построить по компонентам (3.25) сам тензор (п + + га)-го ранга — инвариантный объект, не изменяющийся при преобразованиях (3.13), введём полиаду (п + га)-го порядка:

как конгломерат, составленный из векторов ковариантного (3.5) и контравариантного (3.9) базисов отсчётной конфигурации. Нетрудно видеть, что полиада (3.26) преобразуется при переходе (3.13) от одной системы координат к другой по тензорному закону:

е1I 0 е12 0 ... 0 е г'п (g) е7-/ 0 е7-/ (S ... (S ёо/ =

J і J 2 Jrn

Символ (S называется символом тензорного произведения. Итак, тензор (п + га)-го ранга а может быть записан в виде

Полиада второго порядка называется диадой. В зависимости от типа составляющих её векторов она представляется четырьмя различными способами, в результате чего тензор второго ранга имеет следующие записи:

называется единичным тензором второго ранга.

Очевидно, что вектор является тензором первого ранга, а скаляр — тензором нулевого ранга. He всякая величина, у которой отсутствуют индексы, есть скаляр. Рассмотрим, например, кова-риантную фундаментальную матрицу (3.6). Ясно, что

еч (S ё12 S)... (S) ё1п (S ejx (S еj2 S)... S) (?

'Jm ’

(3.26)

а = а,- ,• • <8> е *2 <8>... <8> ег” <8>

0?, <8> ej2 <8> ... 8> ejm. (3.28)

а = CiijP ® е-7 = а/ег <8> ej = а^-еї <8> е-7 = (21-7? <8> е,-. (3.29)

Тензор I,

I = S1^i 8> е-7 = єі <%) е1 = д^ё% ® е-7 = g^ei <8> ej, (3.30)
40

Лекция З

и определитель дг матрицы (3.6):

g' = (AetlBii,])2 д, ^ (3.32)

\Л і I

хотя и не имеет индексов, однако не преобразуется по тензорному закону, т. е. скаляром не является.

Нетрудно видеть, что определитель любой матрицы, в том числе A1i, может быть записан с помощью символов Леви-Чивиты следующим способом:

И1'I = А*кА1\А^ы™. (3.33)

Следовательно, символы Леви-Чивиты, вообще говоря, не яв-

ляются компонентами тензора третьего ранга. Однако величины y/geijk и єгік/у/~д при переходе от одной криволинейной системы координат к другой преобразуются по тензорному закону. Выберем три вектора da, db, dc:

da = dalei, db = dWcj, dc = dckek, (3.34)

имеющие длины I da I = \J gij da1 dal, \db \ = gij db1 dW, \dc\ = = g^ dc1 dci. Рассмотрим выражения для скалярного, векторного, тензорного и смешанного произведений этих векторов.

а) Скалярное произведение

da - db = g^ da1 dW. (3.35)

б) Векторное произведение. Используя компоненты тензоров Леви-Чивиты, получим

da Xdb= ^ZgeiJkdai dh> ек = — eijkda{ dbj ек. (3.36)

у9

Векторное произведение da х db совпадает с векторным элементом площади параллелограмма, построенного на векторах da и db. Поэтому

dTjQ = dYiо ^ = s/gt-ijk da1 dW ск,

(dE о) a = UadYi о = л/g Cijada1 db?,

где п = TtizCk — единичная нормаль к площадке в отсчётной конфигурации.

в) Тензорное произведение

da® db = da1 dV (? ® Cj. (3.38)

г) Смешанное произведение

(da х db) • dc = ^fgeijkda1 db? dck. (3.39)

(3.37)
Инвариантность кинематических величин

41

Смешанное произведение (da х do) • dc представляет собой ориентированный объём dXо элементарного косоугольного параллелепипеда, “натянутого” на векторы da, db и dc:

dV0 = ^fgeijk do} dh> dck. (3.40)

Нулевой индекс в (3.37), (3.40) соответствует отсчётной конфи-

гурации.

Рассмотрим теперь радиус-вектор актуальной конфигурации (3.2). Введём ковариантный локальный базис Ei:

QrP

Е, = w (3.41)

и определим ковариантную фундаментальную матрицу актуальной конфигурации:

Gij = Gji = Ei-Ej, G = |Gij| ф 0. (3.42)

Согласно (3.41) и (3.42)

1-^*1 — у Ea ¦ Ea — у/Gaa. (3.43)

Матрица Glj, обратная к Gij, удовлетворяет соотношениям

GikGkj = Sij, GjkGki = S/, \Gij\ = ^ (3.44)

и называется контравариантной фундаментальной матрицей актуальной конфигурации.

Контравариантный локальный базис E1 актуальной конфигурации получается с помощью поднятия индексов:

Ei = GijEj, (3.45)

причём

Ei-Ej = GlkGjlEk ¦ E1 = GikGjlGki = GikSjk = Gij, (3.46)

Ei ¦ Ej = GjkEi ¦ Ek = GjkGki = Si. (3.47)

Единичный тензор I может быть выражен и с помощью диады актуальной конфигурации:

I = Ei (S) Ei = GijE1 <?> E3 = GljEi <?> E3. (3.48)

Возьмём три вектора (3.34), составленные из материальных частиц. Им в актуальной конфигурации соответствуют векторы
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed