Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Точно так же в нашем реальном трёхмерном мире возникают напряжения (например, при сварке), от которых можно освободиться только выходя, вообще говоря, в шестимерное евклидово пространство. Поэтому, чтобы изучать такое напряжённое состояние, нужно в качестве О рассматривать шестимерное евклидово пространство M6 или трёхмерное риманово пространство V3 [38, 39].
Однако чаще всего за координатное пространство Q принимается трёхмерное евклидово пространство IR3, которое будем также называть вмещающим ящиком Я. В нём всегда может быть введена прямоугольная декартова система координат, благодаря чему любая точка вмещающего ящика Я описывается радиусом-вектором г = Xiki, где ki — векторы ортонормирован-ного базиса 1). Величины Х{ называются пространственными координатами данной точки или данного места в ящике Я.
Определим далее тело В (сплошную среду) как трёхмерное дифференцируемое многообразие. Под многообразием понимается множество E, представленное в виде объединения {U} конечного или счётного числа областей. Для каждой области U задано взаимно однозначное отображение её в открытую область трёхмерного евклидова пространства M3 (задан гомеоморфизм в IR3). Тем самым в каждой области заданы координаты ?ь?2»?з (U — координатная окрестность или карта; совокупность карт называется атласом). Пересечение U П Ur каждой пары областей в каждом множестве E является областью, в которой действуют две системы координат: ?ь?2»?з (в U) и ?і',?2'»?з' (в Uf). При этом одна система координат выражается через другую соотношениями
? = ?(&.&,&)> г= 1,2,3. (1.1)
Функции <*;• непрерывно дифференцируемы достаточное число раз. Кроме того, во всех точках якобиан преобразования (1.1) отличен от нуля:
д?г
Ф 0, (1.2)
1) По повторяющемуся индексу і производится суммирование от 1 до 3 (см. стр. 11).
10
Лекция I
т. е. преобразование ^ невырожденно или локально обра-
тимо. Тогда по теореме о неявной функции существует обратное к (1.1) преобразование
& = * = 1,2,3. (1.3)
Таким образом, с каждым телом 23 можно связать атлас (в двумерном случае сфера состоит из двух карт). Если же тело В само является евклидовым пространством M3 или его частью, то атлас состоит из одной карты и может рассматриваться одна система координат ^ Для всех окрестностей U — элементов многообразия В Є M3.
Элементы тела В называются частицами X, а величины ^ (г = 1, 2, 3) — материальными координатами этих частиц. Конфигурацией S тела В назовём гладкий гомеоморфизм В в область трёхмерного евклидова пространства IR3. Таким образом, название частиц связано с одной из таких конфигураций. Движением тела В будем называть однопараметрическое семейство конфигураций 5(t) с временным параметром t. Это означает, что в каждый момент времени t имеется “фотография” тела В в ящике Я.
Итак, конфигурация тела В в момент времени t представляет собой множество всех мест х, которые занимают составляющие это тело частицы X: х = 5(23, t) = {5(Х, t), Xe В}. Предполагается, что отображение В —> 2(23, t) биективно, т. е. две различные частицы в одно и то же время не могут находиться в одном месте ящика и, наоборот, никакая частица ни в один момент врмени не может занимать два различных места. Это положение носит название гипотезы непроницаемости.
Конфигурация в момент времени t = to называется отсчётной конфигурацией: Xq = 5(23,to), а в текущий момент t — актуальной конфигурацией: х = 5(23,і). Координаты ящика XpXgjXg, соответствующие отсчётной конфигурации, называются лагранжевыми координатами. Они могут, как и материальные координаты, служить наименованием частицы X (её “названием”). В отличие от материальных координат ?ь?2»?з» лагранжевы координаты связаны с выбором параметра t = to-Поэтому может быть установлено непрерывное и взаимно однозначное соответствие:
х = х(х0, t). (1.4)
Подходы к описанию движения
11
Итак, после введения отсчётной и актуальной конфигураций можно определить движение тела как отображение отсчётной конфигурации в актуальную, т. е. заниматься только отображениями “фотографий” тела, а не самим телом (рис. 3). В силу гипотезы непроницаемости отображение (1.4) будет биективным.
Место, занимаемое частицей X в отсчётной конфигурации, описывается радиусом-вектором 7?:
= го(?і,?2.?з.*о) = ®і(?ь&.?з>*о)?і> (1-5)
а в актуальной конфигурации — радиусом-вектором г:
Г = Г (?ь?2>?з,*) = , (1.6)
где Xi — эйлеровы координаты или координаты места в ящи-
ке Я, занимаемого частицей, которая в момент t = to занимала место с координатами х®. Из (1.5), (1.6) следует, что соотношение (1.4) можно записать в виде
Xi = xi{x\, X®, ж3, t) ИЛИ Г = Г (r0,t). (1-7)
В соотношениях (1.5) и (1.6), как и всюду далее в книге,
используются следующие общепринятые правила суммирования [29, 55]:
а) индекс, изображающийся малой латинской буквой, изменяется от 1 до 3;
б) индекс, изображающийся большой латинской буквой, изменяется от 1 до 2;
в) латинские индексы могут встречаться в каждом одночлене либо один, либо два раза; если индекс встречается два раза, он называется немым и по нему производится суммирование от 1 до 3 (если он изображается малой буквой) или от 1 до 2 (если большой), причём для краткости знаки суммы опускаются; если индекс встречается один раз, он называется свободным (во всех одночленах данной формулы свободные индексы должны совпадать);
