Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
= Vjn>
Qxi Xi
Q
%\г—а
47га3 а
С другой стороны, на поверхности Sa
1/2 / 02
Attcl2
(2.51)
1/2
IOI
Элементы векторного анализа
31
Из сравнения (2.51) и (2.52) следует, что \v\ = \v^\. Поэтому в любой точке M вектор скорости направлен по нормали к сфере, проходящей через точку М, т. е. к соответствующей эквипотенциальной поверхности. Линиями тока и траекториями будут лучи, выходящие из точки О. Движение со скалярным потенциалом (2.49) называется пространственным источником-стоком. В случае Q > О имеем источник в начале координат (скорости всех частиц согласно (2.51) направлены от центра), в случае Q < О — сток (скорости всех частиц направлены к центру).
Поток через поверхность сферы Sa равен
Q ^ Q
V =
dE =
Attcl2
dL =
47г а2 1 а
= Q,
(2.53)
где ISaI = Ала2 — площадь поверхности сферы Sa. Видно, что величина V, равная Q, не зависит от радиуса а и характеризует течение как целое. Эта характеристика называется расходом пространственного источника-стока.
Вычислим теперь оператор Лапласа потенциала Lp (2.49):
1
___з ^__о_
Q-I-Q QJ
= 0
Att г3
(2.54)
везде, кроме T = 0.
Ho исходя из (2.53) и первой формулы Грина (2.46) можно показать, что интеграл от Atp по любому шару Va с поверхностью Sa равен Q и не зависит от а.
Таким образом, Atp — необычная функция: она равна нулю везде, кроме начала координат, но интеграл от неё по любому шару с центром в начале координат равен Q ф 0. Функция Atp представляет простейший пример обобщённой функции (дельтафункции). (О правилах использования дельта-функции см. [42].)
Выберем некоторую кривую, соединяющую точки А и В (рис. 17), и назовём циркуляцией Yab векторного ПОЛЯ а(х 1,Х2,Хз) вдоль
Рис. 17
32
Лекция 2
этой кривом криволинеиныи интеграл
в в
г AB =
а • dr =
CLi dxi.
(2.55)
Циркуляция зависит от направления интегрирования, и Г BA — — —ГAB- Если контур С замкнут, то имеем в (2.55)
Tc = о а • dr = oai dxi.
(2.56)
с
с
При этом положительным считается обход контура С против часовой стрелки.
Если поле а(хі,Ж2,хз) потенциально, то по определению (2.55) циркуляция Tab равна
в
в
Tab =
grad Lp • dr =
d(p = Lp
в
-ip
(2.57)
На плоскости (Oxix2) рассмотрим элементарный замкнутый контур С, ограничивающий прямоугольник со сторонами Axi и Дж2 и площадью ДЕз = Ах\Ах2 (рис. 18). Так как согласно определению (2.56) dTc = aidxi, то
Гс* = ДГ = а\Ах\ + (а2 + Аа2)Ах2 — (а\ + Аа\)Ах\ —
Cl2Ax2 = Aa2Ax2 — Аа\Ах\ =
/ Aao Aa
VAxi Ax2J
Mas3. (2.58)
Устремляя стороны Axi и Ax2 к нулю, тем самым стягивая контур С к точке О, получим
г\ Г\
dr = () = (rot а) • k3 dS3 = (rot a) • dS 3, (2.59)
V ax i OX2J
или
(rota)3 =
dr
dK'
(2.60)
т. e. каждая компонента ротора векторного поля есть изменение циркуляции по соответствующему замкнутому контуру на единицу площади, ограничиваемой этим контуром. В этом со-
Элементы векторного анализа
33
Д#2
Cl
Рис. 19
стоит механический смысл дифференциального оператора rot, определённого с помощью (2.22).
Из формулы (2.59) следует
а • dr =
rot а • dE =
rot а • тЫЕ.
(2.61)
с
Направление нормали в (2.61) выбирается так, что с конца вектора п обход контура С виден в положительном направлении. Соотношение (2.61) называется формулой Стокса 0, означающей, что циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку (в соответствующем направлении) ротора данного поля через любую поверхность, натянутую на этот контур.
Для векторного поля скорости V (2.61) имеет вид
V • dr = 2
(2.62)
с
Рассмотрим вихревую трубку, ограниченную контурами С\ и C2 (рис. 19). Пусть Сз и С\ — контуры по образующей этой трубки. Обозначим через Ecj поверхность, натянутую на C = = С\ U Сз U C2 U С\. Тогда, очевидно,
V • dr =
+
+
+
С
Cx C3 C2 C4'
Кроме того,
IV • dr = 2
• dr = 0.
dH = 0. (2.63)
(2.64)
О Она справедлива для односвязных областей Е.
З Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
34
Лекция 2
Обозначая через Cf2 контур C2 с противоположным обходом, получим
V • (Ir =
Cl С'
V • dr. (2.65)
Таким образом, доказана
Первая теорема Гельмгольца. Циркуляция скорости вдоль любого контура, охватывающего одну и ту же вихревую трубку, постоянна.
Эта циркуляция называется напряжённостью Iuj вихревой трубки и служит важной её характеристикой:
Iuj = # • dr. (2.66)
с
Согласно формуле Стокса (2.62) и первой теореме Гельмгольца величина равна удвоенному потоку (в положительном направлении) вектора вихря uj через любое сечение вихревой трубки. Таким образом, данный поток также может служить характеристикой вихревой трубки.
Утверждение, аналогичное первой теореме Гельмгольца, справедливо не только для Cu, но и для любого соленоидального поля. Так, например, если поле скоростей v соленоидально, т. е. существует векторный потенциал ф (2.25), то величина iv,
Iv —
С
ф • dr, (2.67)
