Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
В зависимости от того, какие координаты — лагранжевы х® или эйлеровы Xi — выбраны в качестве независимых переменных, различаются два подхода к описанию движения сплошной среды, связанные с именами Ж.JI. Лагранжа и Л. Эйлера [45]. При лагранжевом подходе целью является нахождение закона движения (1.7), т. е. траекторий всех частиц тела. Лагранжево описание деформирования сплошной среды применяется чаще в механике деформируемого твёрдого тела, где удобно следить за движением границы тела.
При эйлеровом подходе целью является нахождение поля вектора скорости v как функции г и t. Эйлерово описание применяется в случаях, когда необходима информация о том, как изменяется со временем та или иная физическая величина в данной точке пространства (ящика Я). Такой подход чаще используется в гидроаэромеханике при исследовании жидкос-
Оба подхода эквивалентны. Действительно, зная закон движения (1.7), можно найти согласно (1.17) и (1.18) векторы скорости v(fo,t) и ускорения w(ro,t) и, воспользовавшись соотношениями (1.9), в силу (1.20), (1.21) получить векторные
ПОЛЯ V(г, і) и W(гЛ).
Пусть теперь имеются Три функции Vi(x\, Х2, Жз, t). Выпишем систему дифференциальных уравнений относительно функций Xiit):
Решая систему (1.25) с начальными условиями Xi(O) = х® (задачу Коши), находим закон движения хі(х°{, х®, х®, t).
Рассмотрим ниже три характерные задачи.
Пусть имеется закон движения сплошной среды:
ти [10].
(1.25)
(1.26)
где а — постоянная. Надо найти поле скоростей Vi(x\, жз, t) в эйлеровом пространстве.
16
Лекция I
Заметим, что Xi(O) = х? и, кроме того,
дхі
дх°
I at 0 -at I 0 О 0 1
= I + а2? > 0,
(1.27)
т. е. система (1.26) действительно представляет собой закон движения.
Дифференцируя (1.26) частным образом по t, получим
.о
.о
v\ = ах2 , V2 = -Ox1 , а обращая (1.26), будем иметь
V3 = О,
о Xi- atx2 X1 =
Xo =
I + a2t2 X2 + atx і I + a2t2
(1.28)
(1.29)
I ж3 = X3.
Подставим обратный закон движения (1.29) в (1.28) и выпишем решение задачи:
х2 + atx і
v\ = а
V2 = а-
1 + a2t2 atx2 — х \
(1.30)
I + a2t2
= 0.
Как следует из (1.28) и (1.30), вид функций ^(xpx^x^t) и Vi(x\, х2, хз, t) существенно различен (хотя эти функции и обозначаются одной буквой).
Пусть теперь дано Другое поле скоростей ^(xi, X2, Хз, t) в эйлеровом пространстве:
Vi=UJX2, V2 = -UX I, V3 = V0, (1-31)
где и; и Vq постоянны. Требуется определить закон движения частиц.
Для этого необходимо решить задачу Коши для трёх уравнений
Ax і Ax2 Ax3
Ж = “2' 1Г = -их" 1Г = Щ (1-32)
с начальными условиями х^(0) = х^. Следствием (1.32) является система
A2X і о A2X2 о Ax з
-W = -ujx^ -Ж = -ШХ2' Її
= V0.
(1.33)
Подходы к описанию движения
17
(1.34)
Выпишем её общее решение:
х\ = Ci cos out + C2 sin out, х2 = Сз cos out + C\ sin out,
X3 = VQ t + C5.
Подставим теперь решение (1.34) в уравнения (1.32) и начальные условия, тем самым связывая константы Ci,...,Cs и х®. В результате получим закон движения
' Х\ = х\ cos out + X2 sin out,
< X2 = — Xi sin cjt + X2 cos out, (1.35)
, X3 = х°ъ + V0t.
Уравнения (1.35) представляют собой параметрические уравнения спирали. Следовательно, каждая частица, не принадлежавшая в начальный момент оси хз, движется по спирали с постоянной осевой скоростью Vq и постоянной угловой скоростью OU (рис. 5). Ось же Хз движется ВДОЛЬ самой себя CO скоростью Vq.
В третьей задаче имеется поле скоростей Vi(x\, х2, хз, t) в эйлеровом пространстве:
Vi = сх2-Ъхг, V2 = CLX3-CX 1,
(1.36)
г?з = OXi — ох2 ,
где а, Ъ, с — некоторые постоянные. Необходимо найти траектории частиц.
Исследуем систему уравнений задачи Коши, возникающей в данном случае:
' dx і
~ж = СХ2
dx 2 dt
Ъхъ
= ах з — cxi,
Xi(O) = X0i.
(1.37)
dx з
—— = Ьхі - ах2, dt
Умножим первое уравнение (1.37) на а, второе на Ь, а третье на с и просуммируем:
dxі dx2 dx3
aHT + bHT + cSt=0'
(1.38)
2 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
18
Лекция I
Интегрируя (1.38) по времени с учётом начальных условий:
ах і + Ъх 2 + сх з = ах® + Ьх2 + сх3, (1.39)
придём к выводу, что каждая частица, имевшая в начальный момент координаты X01, х°, х3, будет оставаться в плоскости, определяемой (1.39), т. е. траектория каждой частицы является плоской.
Умножим далее первое уравнение (1.37) на х\, второе на х2, а третье на х3 и просуммируем:
dx і dx о dx3 I I dx\ dxi dx 2\ Л , .
X1 -r- + X2-Ta + X3-^ = - -1 + -2 + -3 =0. (1.40)
dt dt dt 2 I dt dt dt J
Интегрируя (1.40) по времени и опять же учитывая начальные условия, будем иметь
х\ + X22 + X3 = (х\)2 + (х\)2 + (х3)2 , (1-41)
т. е. каждая частица, имевшая в начальный момент координаты X01, х°, х°, будет оставаться на сфере, определяемой уравнением (1.41). Соотношения (1.39)
и (1.41) называются первыми интегралами системы (1.37).
Итак, траекториями будут окружности (для каждой частицы своя), являющиеся пересечением плоскости (1.39) и сферы (1.41) (рис. 6). Исключение составляют лишь частицы, находившиеся при t = t0 на прямой I, которая проходит через начало координат и параллельна вектору {а; Ь; с} (эти частицы, очевидно, будут находиться в покое).
