Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка):
Далее рассмотрим несколько элементарных кинематических задач в пространстве- времени Галилея, которые позволят получить нетривиальные факты относительно изучаемой системы.
4.2. Движение наблюдателей со скоростью |v| < c
Интервал времени dt0 (Рис. 2), образованный испусканием двух
последовательных импульсов нулевой временной протяженности неподвижным точечным источником, находящимся в начале координат пространства-времени трансформируется для наблюдателя 1 в вектор dsl = (dx1,cdtl), для наблюдателя 2
- в вектор ds2 = (dx2,cdt2), для наблюдателя 2' - в вектор ds2,= (-dx2,cdt2), для наблюдателя 3 - в вектор ds3 = (dx3,cdt3), которые, по-видимому, уместно
назвать интервалом [1]. Эти векторы и их модули, когда это не будет приводить к неоднозначности, будут обозначаться одним и тем же символом dst. Важно: компоненты dxt, cdtt - есть заключения о событиях, регистрируемых i - тым наблюдателем в координатах наблюдателя, находящегося в ИСО покоя среды.
Компоненты этих векторов определятся из элементарных соотношений, следующих из аналитической геометрии на плоскости.
26
Именно, мировая линия сигнала, испущенного из начала координат, имеет
вид
dx = cdt , (2)
а мировая линия сигнала, испущенного из начала координат через промежуток времени dt0, очевидно, запишется в виде
dx = cdt — cdt0. (3)
Так как мировая линия i - того наблюдателя
dx = (Vjc )cdt, (4)
то, компоненты интервала, регистрируемые i - тым наблюдателем, запишутся
cdt, = (1—Vi/c)-1 ¦ cdt0, (5)
dx, = V,dt, = (Vjc) ¦ cdt, = (Vjc) (1—Vjc)—1 ¦ cdt0. (6)
Рассмотрим другой частный случай: в системе отсчета покоя среды-переносчика излучения задан пространственный интервал - отрезок прямой от x = 0 ДО x = dx0 - СМ. Рис. 3.
Здесь, как и ранее, пунктирные линии со стрелками обозначают мировые линии сигнала нулевой пространственно-временной протяженности. Сигналы
испущены одновременно в момент времени t = 0 из точек x = 0 и x = dx0. Без ограничения общности, как пояснено выше, в момент времени t = 0 через точку x = dx0 проходит мировая линия i - того наблюдателя.
Требуется определить, пространственный и х временной интервалы, соответствующие двум одновременным сигналам нулевой длительности, источники которых разделены пространственным Рис. 3 промежутком dx0 в системе отсчета покоя среды,
которые зарегистрирует наблюдатель, движущейся относительно среды со скоростью V,.
Относительно временного интервала. Если бы наблюдатель покоился в точке x = dx0, то сигнал из точки x = 0 он бы принял через время cdt = dx0 (см.
Рис. 3). Раз в неподвижной системе отсчета сигналы были одновременны, то
нас интересует интервал времени, пропорциональный скорости наблюдателя, т.е. интересующий нас временной интервал cdt, = cdt — dx0.
Пространственный интервал, принятый движущимся наблюдателем, в контексте рассматриваемой задачи, должен включать в себя dx0, т.е пространственным интервалом, регистрируемым наблюдателем, будет интервал от x = 0 до x = dx,. Здесь, конечно, пространственный промежуток dx, — dx0 также пропорционален скорости наблюдателя.
Из элементарных выкладок, аналогичных (2)-(6), следует, что
dx, =(1—Vjc)1 dx0, (7)
cdt, = (Vjc) (1—Vjc)1 dx0. (8)
27
Объединим оба частных случая - трансформацию временного (соотношения (5)-(6)) и пространственного (соотношения (7)-(8)) интервалов из системы отсчета покоя среды в систему отсчета наблюдателя - в одно матричное соотношение:
dx | ( dx,,
I = A(V) I °
cdt, I I cdt„
(9)
где
A(V )--
-1\
(10)
(1-V/c)-1 (V/c)(1-V/c)-
v(V/c)(1 - V/c)-1 (1 - V/c)-1
Упомянутая возможность объединения частных случаев - иллюстрация того, что пары (dx, cdt) являются линейным пространством (в частности (dx0,cdt0) = (0,cdt0) + (dx0,0)) прямо следует из того, что dxt = dxllki + dxlcdti, dt i = dt dkri + dtlalki, где индексы dx0 и cdt0 указывают на вклады в компоненты интервала от соответствующих величин. Это очевидно и из графика, если событие испускания сигнала в точке (dx0,0) заменить эквивалентным событием
- испусканием сигнала в точке (0, -dx0), и мировую линию наблюдателя также провести через эту же точку.
Перечислим свойства линейного однопараметрического семейства преобразований A(V) (10) компонентов интервала (dx0, cdt0).
1. Областью определения A(V) является V е(-^, c).
2. A(0) = E, где E - единичная матрица, тождественное преобразование.
3. Матрица преобразования A(V) симметрична, т.е. AT (V) = A(V).
4. A(-V) = A-1(V) - изменение направления скорости делает преобразование обратным. Обратное преобразование определено для значений V е (-c, ^).
5. det A(V) = (1 + V/c)/(1 - V/c).
6. dx(V)-cdt(V) = dx0 -cdt0 = i«v.
7. dx2 -c2dt,2 = det(A(V)/dx2(V)-c2dt2(V))
8. Рассмотрим произведение
1 + VV,/c2
A(V) A(Vj )--
(1 -V/c )(^ - Vj/c) V/c + V/c
V/c + Vj/c (1 - V/c )-Vj/c) 1 + VV/c2
ч (1 -V/c)(^ - Vj/c) (1 - V/c) - Vj/c)
Если числитель и знаменатель каждого элемента полученной матрицы разделить на (1 + V^j/c2), то полученное произведение A(V)A(Vj) примет вид (10), т.е. A(V)A(Vj) = A(VJ), где
Vj = ( + Vj )(1 + VVj/c2) (10a)
