Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка):
- в точности формула «релятивистского сложения скоростей», а формально - преобразование группового параметра.
28
9. Учитывая это обстоятельство, а также то, что эти линейные преобразования ассоциативны (групповая операция - матричное умножение), следует, что однопараметрическое множество преобразований (10) является группой с областью определения |v| < c.
10. Для краткости изложения обозначим эту группу -<, где символ < в обозначении указывает на то, что наблюдатель движется со скоростью меньшей скорости распространения сигнала.
11. Легко проверить, что AT (V)gA(V) = det A(V)g, где g = ^0 -^j. Здесь на
матрицу g можно смотреть как на метрику пространства векторов (dx,cdt). Это свойство преобразования A(V) и является формальным истоком того, что пространство-время «псевдоевклидово».
12. Если каждый элемент матрицы (10) поделить на корень квадратный из ее детерминанта .^(1 + Vjc )/(1 - V/c), то детерминант полученной таким
образом матрицы, очевидно, будет равен единице. В результате этой искусственной процедуры, получится в точности преобразование Лоренца - векторное представление группы псевдоевклидовых вращений плоскости пространство-время
( 1 Vjc
ф - VVc2 Ф - VVc V/c 1
„Ф-VVc2 ф-VVc
- (V ) =
(11)
Итак, преобразования Лоренца возникают:
• У Лоренца-Пуанкаре из требования выполнения принципа относительности для уравнений эфира при явном учете гипотезы Фитцджеральда-Лоренца [3,4];
• Эйнштейн выводит их из постулата постоянства скорости света -релятивистской инвариантности квадрата интервала [5].
• В данной работе преобразования Лоренца получаются как решение элементарной задачи аналитической геометрии на евклидовой плоскости пространство-время - о пересчете пространственных и временных интервалов между наблюдателями, которые находятся в различных инерциальных системах отсчета. Наблюдатели связаны «точечным» сигналом с конечной скоростью распространения. Дополнительное требование - нормирование элементов матрицы преобразований для получения единичного определителя преобразований превращает преобразования (10) в преобразования Лоренца (11).
Оказывается, что при рассмотрении равномерного движения на евклидовой плоскости (x, t) естественным образом появляется псевдоевклидова структура относительности, следующая из связи систем отсчета сигналом с конечной скоростью распространения.
29
4.3. Движение наблюдателей со скоростью Wе (-^, —c)u(c, +^)
Проведенное в предыдущем параграфе рассмотрение позволило выявить закономерности кинематики инерциальных систем отсчета в евклидовом пространстве-времени при скоростях наблюдателя Vе(—c, c) = (—^, c)n(—c, +^). В частности установлено, что преобразование (10) и его следствие (11) являются свойством абсолютного (и евклидова) пространства-времени.
Подобным образом можно проанализировать и случай движения наблюдателей со скоростями Wе(о, — c)u(c, +^). Эта ситуация представлена на Рис. 4.
Здесь, как и прежде, линии со стрелками - мировые линии сигналов, испущенных в соответствующих точках пространства-времени, цифрами 1 и 2
обозначены мировые линии первого и второго наблюдателей, движущихся со скоростями, превышающими скорость распространения сигнала. В качестве системы отсчета выбрана та, в которой покоится среда - переносчик сигнала. Если обозначить dt0 - интервал времени между двумя мгновенными сигналами, испущенными в одной точке пространства, a dx0 - расстояние между двумя точками пространства, в которых одновременно испущены сигналы, то, подобно (9), (10), нетрудно установить, что, при значениях W, > c (событие(dx0,0) эквивалентно (0, — dx0))
dXj dx0
Рис. 4
--B(W)
(12)
где
B(W) =
ч—Л
(13)
(1 — cfwt) (c/W )(1 — cjwt)
v (c/W )(1 — cfWt) (1 — cjWt)
Сравним свойства преобразований A(V) и B(W).
1. В отличие от преобразования A(V), областью определения которого является V е (—c, c), преобразование B(W) определено для значений Wе (-^, — c)U(c,^).
2. Если в случае преобразования A(V) тождественный элемент соответствует скорости V = 0, то, в силу двусвязности топологического пространства преобразований B(W), имеются два различных «асимптотических» тождественных преобразования lim B(W) = E±.
Пополнение топологического пространства группы одной бесконечно удаленной точкой (точкой lim W = ~) - делает групповое пространство
W i±~
односвязным W е (-^, — c)U (c, , а само преобразование в бесконечно
удаленной точке - тождественным B(~) = E.
30
3. Матрица преобразования B(W), как и матрица преобразования A(V), симметрична, т.е. BT (W) = B(W).
4. B(-W) = в-1(W).
5. detB(W) = (1 + c/W)/(1-c/W).
6. dx(W) -cdt(W) = dx0 -cdt0 = inv .
7. dx02 -c2dt02 = det(B(W))(dx2(W)-c2dt2(W))
8. Прямыми выкладками легко показать, что B(W )B(Wj) = B(Wj), где
W = (W-Wj + c2 ) + Wj )-1. (13a)
9. BT(W)gB(W) = detB(W)g, где g = ^ 1 0j. Следовательно, гиперболические
уравнения, в частности - уравнения Максвелла, сохраняют вид
относительно преобразований (13), как и относительно преобразований (10).
10.Если каждый элемент матрицы (13) поделить на корень квадратный из ее
