Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка):
Тогда, чтобы удовлетворить сформулированному условию отличия пространственной и временной оси, необходимо предположить, что функции x(t), у(т), z(t) - произвольные (в смысле знака производной, но определяемые начальными условиями и силами, действующими на частицу), непрерывные, имеющие непрерывные неравные нулю производные своего аргумента [3, с. 521], a t(T) - непрерывная возрастающая функция. Или иначе, t(T) -непрерывная возрастающая функция, а координатные функции x(t), y(t), z(t) -произвольные, непрерывные, имеющие непрерывные неравные нулю производные своего аргумента. Ко второй реализации сформулированного условия можно прийти от первой реализации, если найти функцию, обратную т = T(t) и сделать замену переменной x(T(t)), y(T(t)), z(-r(t)).
Теперь рассмотрим простейший вариант объединения пространства и времени - одномерное время рассматривается как четвертое измерение, а соответствующая ему ось ортогональна пространству в евклидовом смысле.
Запишем уравнение равномерного прямолинейного движения материальной точки в таком пространстве-времени
r(t) = r0 + Vt, (4)
где r0- положение материальной точки в момент времени t = 0; r(t) - ее положение в момент времени t; V - вектор скорости материальной точки движения относительно некоторой системы отсчета (координат); t - текущий момент времени.
Тогда, очевидно, в дифференциалах dr = Vdt и dr у V. Если теперь выбрать новую систему координат так, чтобы ось x пространства-времени была бы
40
параллельна вектору V, то векторное равенство дифференциалов запишется в скалярном виде как его проекция на новую ось x:
dx = Vdt = Vc0dt = tg ac0dt, (5)
c0
где c0 - произвольная константа размерности скорости, согласующая единицы измерения длины и времени, а а- связанный с размерной константой c0 угол между мировой линией материальной точки (4) и осью времени [4].
Первое отличие кинематики в евклидовом пространстве-времени от кинематики в пространстве-времени Галилея состоит в том, что в формализме естественным образом возникает константа c0 размерности скорости.
Смысл этой размерной константы (кроме того, что, она определяет относительный масштаб единиц времени и длины) и ее величина подлежат дальнейшему обсуждению.
Так как пока величина c0 не определена, то следует допустить, что V может быть меньше, равна или больше c0. Но при любом c0 «мировая линия сигнала» является биссектрисой «прямого» координатного угла (x,c0t), т.е. а = ж/4.
Итак, предполагается, что пространство-время линейное евклидово координатное пространство [5].
Пусть (xt, c0t,) - точки этого пространства - (в терминах теории
относительности - события). Определим интервал ds , между i - тым и , - тым событиями в виде ds , = (dx,(, c0dt ,), где dx, = xt - xt, dt , = t ., -1,.
Так как пространство-время евклидово, то расстояние между i - тым и , -тым событиями будет равно ds, = |ds,| =Jdx, + c^dt,J
На последнее соотношение, представленное в виде ds, = ds,2 = dx,, + с2dr,, можно смотреть как на скалярный квадрат ds2 =iydslJ,ds ,) вектора интервала ds ,, здесь (¦,¦) - евклидово скалярное произведение. Следовательно, множество интервалов событий с естественными линейными операциями (покомпонентное сложение векторов и умножения вектора на вещественную константу) и евклидовой нормой (скалярным произведением) также является евклидовым пространством.
Теперь, подобно тому, как это сделано для пространства-времени Галилея, рассмотрим то, как соотносятся пространственно-временные интервалы для наблюдателей, находящихся в различных ИСО. Как и ранее ограничимся случаем одного пространственного измерения.
Выберем некоторую инерциальную систему отсчета K. Пусть относительно ИСО K i - тый наблюдатель движется со скоростью V. Тогда его уравнение движения в дифференциалах имеет вид
dx = tgapdt, (6)
где
41
tga = V/^
(6a)
a - угол между осью времени системы отсчета K и мировой линией
пространстве-времени, которое i - тый наблюдатель преодолевает за интервал абсолютного времени dt) является натуральным параметром траектории i -того наблюдателя [3].
Второе отличие кинематики в евклидовом пространстве-времени от кинематики в пространстве-времени Галилея состоит в том, в формализме, через параметр вдоль траектории (вместо времени в пространстве Галилея), возникает величина drt = dsl/c0 = dtj 1 + V2/c2 размерности времени, зависящая от скорости наблюдателя относительно выбранной системы отсчета.
С точки зрения системы отсчета K величина dt, является «собственным» временем i - того наблюдателя, измеренного по «абсолютным» часам.
Это заключение вытекает из следующих соображений.
Мировая линия наблюдателя, покоящегося относительно начала координат системы отсчета K, очевидно, совпадает с осью времени собственной системы координат.
На движение i - того наблюдателя можно смотреть двояко. Если за его движением наблюдать с точки зрения системы отсчета K, то следует заключить, что его движение происходит по мировой линии (6). Но если смотреть на происходящее глазами i - того наблюдателя, то он, глядя «наружу» из собственной системы отсчета (из той, в которой он покоится), будет видеть изменение координат относительно системы отсчета K в соответствии с (6). Но так как он неподвижен относительно собственной системы отсчета, то мировая линия наблюдателя в ней будет совпадать с осью времени собственной системы отсчета. Значит, с точки зрения системы отсчета K наблюдатель движется по мировой линии (6), а для самого наблюдателя он тоже движется по мировой линии (6), но для него она является осью времени собственной системы отсчета (см. также [6,7]).
