Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(ЗЛ04)
Это есть (3.17), и это очень важная формула, позволяющая нам все потоки
записывать в гамильтоновой форме.
В следующем разделе мы займемся задачей о том, что происходит при
возмущении интегрируемой системы, и для этого нам придется существенно
использовать материал настоящего раздела. Но сначала я хочу отметить
другую особенность. Как мы показали в разд. 3d, в пределе малых q
(ik/2n)p(k/2) - это просто преобразование Фурье .от q. Этот факт и то,
что вариации данных рассеяния определяются по (3.99), (3.100) и
(3.101) как внутреннее произведение между бq и квадратами собственных
функций или их производных, наводит на мысль о возможности обращения этих
соотношений и определении бq как функции от б {Ь*/а), 6?*, 60*. Это и в
самом деле возможно. Детали читатель может найти в [75]. Ответ таков:
б? (*,/) =--5- j б №) g<Pg(;-S) dt +
-оо
+ 2't^^r^ + 2't ¦ <злю>
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 127
Набор производных по х от квадратов собственных функций
{Цг(*. I), I вещественно, - ? ^ Аг=1,-----А^}
(3.106)
образует базис в классе функций (3.63). Вам следует с помощью (3.99) -
(3.101) проверить, что если изменение бq осуществляется согласно
временной динамике какого-либо уравнения из семейства КдФ, то
6(Tr) = -2it"+V' "ь=о.
(3.107)
6f), = -2iS"+,|)" i=±.
Чтобы убедиться в этом, скажем, при п- 1, замените в (3.99) 8q на - -4-
fa** + 3q2)x, проинтегрируйте по частям и используйте для вычисления
интеграла уравнение, которому удовлетворяет
(Ф2Ь-
В заключение укажем на возможность записи q(x) в виде
оо N
? W=4- S ся Ю ^2 s) dz -4 Е Y*^2 <*• ?*)• (зл08>
- оо ft=l
Уравнение (3.108) легко получается из
4- S жтч*, о''i=-kp S ^(1>(*"ю1<'е) ~ О*
- ОО -оо
(3.109)
где Р обозначает интеграл в смысле главного значения, вычислением правой
части деформацией контура в полукруг |?| = °°> Im ? > 0. Из (3.27) имеем
срфа-1 - 1 ~ q/2?2 + ... при |?|->- оо.
Замечание. Из этих результатов видно, что интегрируемые потоки лежат на
бесконечном семействе поверхностей
I/?(!) 1 = const, ?й = const. (3.110)
По аналогии с конечномерными гамильтоновыми системами можно представлять
себе пересечение этих поверхностей уровня (3.110) как бесконечномерный
тор. Возмущения общего вида, выводящие систему из класса интегрируемых -
как, например, влияние переменной глубины (см. следующий раздел)-могут
приводить к изменениям траекторий как вдоль, так и перпендикулярно
поверхности этого тора. Из (3.105) мы видим, что изме-
128 Глава 3
нения, не выводящие за пределы тора, образуют некоторое пространство,
натянутое на векторы дф2/дх, в то время как нормальные к тору вариации
натянуты на производные этих величин по
3g. Теория возмущений. Уединенные волны в канале медленно меняющейся
глубины. В разд. 2Ь мы получили (2.16)
?t + 6We + ?eee = (3.111)
в качестве модели для описания длинных волн, распространяющихся вправо по
каналу переменной глубины. Если относительное изменение глубины Dx/D мало
по сравнению с длиной рассматриваемых волн, то зависящий от т параметр Г
==(9/4)DX/D мал, скажем, порядка о, где 0 < е < о <g; 1. Может
показаться, что такую на вид несложную задачу можно решить в лоб,
используя стандартную технику теории возмущений. Однако это не так.
Потребовалось около десяти лет, чтобы прояснить большинство трудностей,
связанных с уравнением (3.111), и его связь с полной двухволновой задачей
о волнах на воде. А некоторые вопросы до сих пор остаются открытыми.
Поэтому это прекрасный пример для иллюстрации различных подходов к
решению возмущенных солитонных уравнений. Результаты, которые я
намереваюсь обсудить, получены в серии статей с моим коллегой Дэвидом
Каупом [45] и позже с моим студентом Кол-леном Кникербокером [43].
Карпман с коллегами [46] независимо получили многие из этих результатов
почти одновременно с нами.
Задача, которую мы рассмотрим, такова: вообразим уединенную волну
q (0, т) = 2г)2 sech2 ri0 (0 - 4ti2t - 0О), (3.112)
входящую в область меняющейся глубины при 0 = т = 0. (Напомним связь
новых координат q, 0, т со старыми:
* х
6 = -^+-^-^-' T=i$ D'l*(X)dX, Х = ех;
возвышение N пропорционально D2q, где D(X)-безразмерная глубина.) Наша
цель - описать дальнейшую эволюцию. Для этого есть много способов, одни в
чем-то лучше других, но нет единственно верного. В пунктах (i) и (и) ниже
мы опишем как прямой метод возмущений, так и связанный с обратной
задачей, и укажем их преимущества и недостатки. Метод, разбираемый в п.
(iii), который я называю методом разумного использования
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 129
законов сохранения, я считаю весьма удобным, если уже есть некоторое
понимание того, чего следует ожидать, - понимание, приобретаемое
посредством метода (И). В п. (iv) я вкратце опишу, как пользоваться (iii)
для преодоления несоответствия
оо
между постоянным потоком массы М = ^ D (.*) U (х, t) dt в пол-
- ОО
ных двухволновых уравнениях и величиной, сохраняющейся
оо
