Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Для нахождения производных по t от а(?, t), b(t" t) используем прямо
формулу (3.59) или ее асимптотический вид при л:-"-+оо. Дифференцируя по
t левую часть (3.59), получаем
(qx -f 4ig) (аф (х, - ?) + ?>ф (х, ?)) +
+ (4?2 - 2q) (аф* (х, - ?) -f 6ф* (*, ?)), а дифференцируя правую - atФ
(х, - 0 + Ь{ф (х, ?) -f a (qx -f 4i?3) ф (х, - ?) +
+ а (4?2 - 2 q) ф* (х, -Q + b(qx - 4i?) ф (х, Q+b (4?2-2<?) ф* (х, ?).
Приравнивание двух этих выражений дает
at = 0, bt = 8 igb. (3.93а)
Аналогичные вычисления для (3.66) дают
bkt = 8i?bk = to?kbk. (3.93b)
Заметим, что (3.93а) и (3.93Ь) совместимы в том смысле, что если
потенциал q(x, t) таков, что b(%, t) допускает аналитическое
продолжение в ? = ?*, т0 (3.93а) там совпадает с (3.93Ь).
С другой стороны, подстановка в (3.91) асимптотического вида ф(л:, t, ?),
т. е. а(?, t)e~^x + b (?, t)e^x, также дает (3.93а).
Существенное замечание, которое необходимо сделать, состоит в том, что
хотя эволюция ф и ф зависит от неизвестной величины q(x, t) и всех ее
производных по х, данные рассеяния включают только относительное
поведение собственных функций в точках х' = ±оо, в которых известна q(x,
t) вместе со всеми ее производными (они все равны нулю). С другой
стороны, если
124 Глава 3
бы мы решали периодическую задачу на интервале 0 ^ х L, то у нас бы не
было в распоряжении такой точки, в которой q(x, t) известна в любой
момент времени, и это делает эволюцию новых координат в этой задаче
гораздо более сложной.
Постоянство а(?) играет центральную роль в теории. Во-первых, оно
означает неизменность во времени дискретных собственных значений = щк,
k=l, ..., N. Во-вторых, из (3.65)
и (3.69) мы видим, что гамильтонианы Н2п+ь п = 0,
1, ..., и
SOO
qdx являются интегралами движения. Это справедливо
- со
для любого потока из семейства КдФ. Единственное, чем отличается (КдФ)з
от (КдФ)2я+ь - это, в соответствии с (3.9) (напомним, что t, входящее в
(3.9), в 4 раза больше, чем t в (3.52), (3. 53)), то, что в первом случае
Ьи = 2П?Ь, (3.94)
в то время как во втором
bhn+=2i?n+lb. (3.95)
Таким образом, хотя в физическом пространстве трудно увидеть разницу
между потоками с п- 1, 2, 3, ... (сравните (3.15) и
(3.16)), в пространстве данных рассеяния их различие тривиально и
сводится просто к разным степеням J; и в фазах 6(?, t) и bk{t). По этой
причине легко рассматривать линейные комбинации этих потоков. Например,
^=a^3 + P^s + Y^,+ •••
дает at = 0, и
bt - 2г (а?3 + Р?5 + у?7 + ...)Ь,
\ = 2*К + РС! + УЙ+ ¦ ¦•)**¦
Одним из следствий этого является формула, определяющая многосолитонное
решение (3.88) сразу для всех потоков. Достаточно использовать подходящую
фазовую скорость в Xk• Вспомним, что bk = е2г]кХк = е~2^кХк.
Многосолитонная формула для U, /д, ...) как функции чистых потоков (3.9)
задается (3.88), (3.89) с
Hj = 2i(Zjx+ ?% + ?%+ ...). (3.96)
Влияние инфинитезимальных вариаций потенциала. Следующая наша задача
состоит в определении инфинитезимальных вариаций данных рассеяния,
возникающих вследствие инфините-зимального изменения потенциала q[x). Как
мы увидим, эти
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
125
формулы важны с самых разных точек зрения. Если q подвергается изменению
q^-q-{-8q, то при вещественных (фиксированных) Е; вариация ф(х, ?)
удовлетворяет уравнению
Мы знаем два линейно независимых решения однородного уравнения ф(х, ?) и
ф(х, -?) и поэтому можем решить (3.97) вариацией постоянных. Получаем
Получить формулы для б?/г и бyk проще всего, допуская существование
аналитического продолжения в ? = ?*• Даже если оно неприменимо,
полученные формулы будут верными, так как не могут зависеть от того,
является ли носитель q компактным или нет. Маленькая трудность состоит в
том, что для вещественных ? &*(?)|= Р(-?). Для комплексных Е; продолжение
Ь(?) в ? = ?* должно удовлетворять b(t,k)b(-%к) = - 1, поскольку а(?*) =
0. Поэтому продолжение Ь* в ? = ?* есть -l/bk. Я оставляю читателям в
качестве упражнения показать, что
(6ф)х* + (?2 + ч) 6Ф = - 6<7Ф-
(3.97)
X
бф = -2Д-Ф(л:, - ?) \ bq(y)?(y, Z)dy -
+ О0
X
- Ф (*, ?) \ by (у) Ф (у, ?) Ф (у, - ?) dy.
+оо
Устремляя х->-оо, получаем
оо
ба==ж jj М*)Ф(м ?)ф(м ?Мм (3.98а)
- оо 00
- оо
ЬЬ' = -щ- jj б? (х) ф (x, S) ф (jc, -Qdx. (3.98b)
- оо
Из (3.98) находим
оо
- оо
оо
б^ = "2Д7 S dx>
(3.100)
- оо
- оо
dx, (3.101)
126 Глава 3
где $k = -l/bka'k и a'k, d'k, (дф2/д?)А- это первая и вторая производные
от я(?) в точке ?* и первая производная -ф2 по % в ?*. Формула (3.100)
известна в квантовой механике и выражает изменение энергетического уровня
как функцию вариации потенциала.
Теперь мы используем (3.98а) для доказательства (3.17). Нетрудно
показать, что для L, определенного в (3.12), выполняется
<t-"(w-1)=T''- <ЗЛ02>
Решая итерациями, получаем
¦ -гЁтет L"i-
а (С)
Поэтому, пользуясь (3.98а), находим
б In а 1_ Фф 1 (, 1 V -1-. ip-q 1 (3.103)
1 - j-У ¦
2 Y Z2n+2
Теперь сравним (3.103) с (3.65) и (3.69). Получаем
