Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 54

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 113 >> Следующая

многосолитонных. Следует устремить все t,k к нулю согласованным образом,
и коэффициент пропорциональности в (3.133) становится равным (-1)^.
Причина этого станет вам ясной, если вы проведете эти вычисления. Возьмем
N = 1 и применим (3.133),
е"М (! + _|l) = е". V (-w (1 - .
Теперь разложим вблизи ?i = 0. Для баланса членов порядка
необходимо, чтобы exp (2/^Xj)->-1. Это соответствует сдвигу фазы х\-
п/2%\. Переходя к пределу -"-0, мы получаем С\Х + 1 = 0 или С\
= --1 /х = - (d/dx) In х. Следовательно,
q = 2-?r\nx = -jr. (3.136а)
Читателю предлагается проверить, что для /V = 2
q = 2-??\n(x* + 3t). (3.136b)
Предельный переход утомителен, но несложен. /V-фазное рациональное
решение определяется формулой
г/ = 2-^1пт", (3.137)
где хн проще всего получается последовательным применением преобразования
Бэклунда (4.107).
Конечнозонные решения и их связь с фиксированной рима-новой поверхностью.
Мы теперь переходим к конечнозонным решениям, специальным предельным
случаем которых являются многосолитонные решения. Название же возникло в
теория
146
Глава 3
уравнения (3.1) с периодическими граничными условиями. Если задано
периодическое по х q(x) с интервалом периодичности [О, Р], то известно,
что спектр (набор таких ?2 = Х, при которых по крайней мере одна из
собственных функций задачи (3.1) периодична или антипериодична) состоит
из дискретного набора Л-0 < Xi Х2 < ^3 ^4 • • •<С ^2Л-1 ^2Л • •
• (Я.0, ^3> Я,4, Xg,
соответствуют периодическим собственным функциям, а Х2, Я,5, Х6, ... -
антипериодическим). Зоны (Л,2л-i, %2п), которые могут иметь и нулевую
длину, называются зонами неустойчивости, поскольку в этих областях
соответствующие блоховские собственные функции, определяемые условиями
Ф±(*. ?)=1" х = х0, х0 фиксировано,
экспоненциально растут по х (т. е. р, зависящее от 5, по абсолютной
величине больше единицы). Если потенциал q(x) таков, что лишь конечное
число зон неустойчивости имеет ненулевую длину, то он называется УУ-
зонным. Поскольку каждый поток из семейства КдФ сохраняет спектр, q(x,
t3, /э, ...) остается УУ-зон-ным потенциалом при всех значениях U, 15,
... и, как мы увидим, является периодическим по всем временным переменным
решением. Общее решение периодической задачи возникает как предел УУ-
зонного с УУ-voo. Читатель может получить дополнительную информацию в
[29].
Класс решений, исследуемый нами в этом разделе, возникает при ослаблении
требования периодичности q(x, t3, ...) по х с фиксированным периодом Р.
Возникающее в результате УУ-зонное решение будет квазипериодическим по х
и по всем временам t3, ..., Uh+\- Начнем мы с того, что перепишем
уравнения (3.1) и (3.128) системы в виде
'Ыя + Я, ?) = рф±(х, 0,
(3.139)
и в общем случае
(3.140)
Предположим, что нам нужно найти решение для
<7<8=-(?*** +
(3.141)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 147
т. е. условия совместности (3.138) и (3.139) в виде q(X=x-ct3). Пусть Х =
х - ct3, Т = t3, тогда (3.138), (3.139) принимают вид
Vx = Q0)V, VT = {Q{3) + cQ{l))V. (3.142)
Однако матрица коэффициентов зависит только от X, и можно решить
уравнение по Т, разделяя переменные, V = UeyT, после чего (3.142) дает
Ux = Q{l)U, (3.143)
yU = (Q(3) + cQ(l)) U = QU. (3.144)
Условие совместности (3.143), (3.144) имеет лаксов вид
Qx = [Q(,). Q] (3.145)
или, после раскрытия,
Я ххх + 6 qqx - 4 cqx = 0 (3.146)
и допускает решения
Q (X, 0 = и (X, О Q (Х0, о U~l (X, О, (3.147)
где связь U с Q(l> определяется в (3.143). Следовательно,
характеристический многочлен для Q не зависит от X и
R(y, Q = det(Q-ir/) = 0 (3.148)
является алгебраической кривой с постоянными по X коэффициентами. В нашем
случае (3.148) имеет вид
f = h2 + ef, Q = (* Д),
R(y. О = ~ ЪсХ2 + X(¦*** * V - cq - c2) +
, (fx , (4 \( <7xx + V ,
+ Ы + 1т~сЛ 4- + cv)'
где X = t,2. Но из (3.146)
.... -i- 3 os
cq = El
4x q3 . cq2 q&i
16 8 4 2
откуда
у2 = -Л3 - 2cX2 - (?, + С2) X + (E2 + cEi). (3.149)
148 Глава 3
Уравнение (3.149) определяет риманову поверхность перного рода
(топологически эквивалентную тору или бублику), которая не зависит от X.
Обратно, добавим к (3.138), (3.139) связь yVr=(Q(3)+cQ(1>) V, тогда q
зависит от х и t3 только в комбинации X = х-- ct3 и выполняется (3.146).
Посмотрим на это с более общей точки зрения и добавим к списку (3.138) -
(3.140) связь
yV = QV, Q = [hf Д) (3.150)
с
Q=f>2,+1Q(2r+,), Q(2r-,f = (^ Д), (3.151)
где "2л+1 - константы. Дифференцируя (3.150) и пользуясь
(3.138) и тем, что
Qtzl+l - Qxi+[) + [Q(1), Q(2/+i4 = 0, (3.152)
убеждаемся, что
? thr+iQ'0
2 Г+ 1
ИЛИ
Е"2лИ^г+1 = 0- (ЗЛ53)
Можно смотреть на (3.153) двояко. С одной стороны, как дифференциальное
уравнение в частных производных первого порядка по х, ts,
ts, ..., ^2/v+i. оно означает, что q является функ-
цией от N фаз, образованных из соотношений
dx dt" dt".,,,
- = -!=...= 2N+l , (3.154)
"l И3 U2N +1
линейных no x, h, ..., t2N+ь Однако мы можем смотреть на (3.153) как на
нелинейное автономное обыкновенное дифференциальное уравнение по х
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed