Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Траектория солитона имеет вид
= -1).
Далее, мы знаем, что на траектории Ps{Qs, т5)
Qc i^s) - т~7-Г = e~2l3°*s ¦
s> Зт) (г5) Зт)о
Мы знаем также, что
fc <0. т) Ы = -^ г"Vs(r)'",
что после обращения формулы траектории солитона дает
ае ч -3/4
Вычислим теперь поток массы, связанный с шельфом,
б
те = ГР1*(т) J <7(6, т)dB.
о
Используя закон Грина, а именно, что вдоль характеристики 0 = const,
?>9/4 (Х) q (0f Т) = ?,9/4 (Tj) qc (0 = 0S) Ts))
мы можем записать это в виде интеграла по xs, переменной вдоль траектории
солитона, от тs = 0, т. е. точки, начиная с которой глубина меняется, и
до т5 = х т. е. текущего положения уединенной волны:
X
\ Оэ/4 (xs) qc (0S, ts) dxs =
mc =
0
t
0
x
= -Зло jj D~Ui (ts) Dx (ts) dxs,
0
и так как цО312 = r\0D3!2 = 0О (поскольку ?>0=1), то mc = 4ri0 - -
4ti0D3/4(t). Однако поток массы, связанный с уединенной волной, есть
ms = ?)9/4 (т) • 4-0 (т) = 40о?)9/4 (т).
136
Глава 3
Поэтому полный поток массы, связанный с идущей вправо компонентой потока,
оо
m = tns + mc= ^ ?9/4 (т) q (0, т) dQ = 4%,
- оо
действительно постоянен, как и требуется в соответствии с уравнением
(3.111).
Прежде чем разобраться с несоответствием между потоком массы в уравнении
КдФ, описывающем только распространяющиеся вправо волны, и потоком в
полных уравнениях, посмотрим, как выразить шельф через данные рассеяния.
Вспомним первую из формул следов (3.70) для массы:
ОО TV ОО
5 qdd = 4^%+v ] In (1 \ R |2) dt,.
- oo 1 - oo
oo
Из (3.111) получаем, что ^ q dQ в точности совпадает
- oo
с 4%(1/?))9/4. Солитонная компонента решения qs, с которой мы связываем
солитон тр, имеет массу 4тр = 4т]о(1/?))3/2. Если 1 > D, глубина
уменьшается; тогда, поскольку вклад непрерыв-
ОО
ного спектра (2/я) ^ In(1 - \Rf)dt, всегда отрицателен, qc долж-
о
но быть разложимо на солитоны для осуществления баланса в (3.70),
поскольку l/D9/i > 1 /D3/2. Шельф, имеющий в этом случае положительную
амплитуду порядка о и длину порядка а~', будет разлагаться на большое
число солитонов, представленных в спектре набором точек ?* = ir\k, k = 2,
..., N, плотно расположенных на отрезке мнимой оси между ? = 0 и t, =
0(ia). (Подумайте об упражнении 3d(3) с Q=a, L = l/a.) Постепенно, за
время (l/a)ln(l/a), солитоны, составляющие шельф, отделяются друг от
друга.
Я думаю, что такие сложности при анализе безобидного на вид возмущения
могут вызвать удивление. Хотя этот вопрос для меня полностью не ясен,
частичная причина - в принципиально различном влиянии возмущения на
"сохраняющуюся величину"
^qdx,т. е. функционал Казимира, возникающий вследствие вы-рожденности
скобки Пуассона (3.25), и на все остальные интегралы движения ^ q2dx, ^
(у q\ - <73) dx, ....
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
137
(iv) Отраженный поток [43]. Сейчас мы займемся отысканием поля
отраженного потока ц-(х, t) и и~(х, t), порожденного взаимодействием
распространяющейся вправо компоненты т1+(л:, t) и и+(х, t) с изменением
глубины. Мы воспользуемся той же стратегией, что и раньше. Сначала
вычислим и- на идущей вправо характеристике 0+ = 0, для чего рассмотрим
рис. 5.
Зафиксируем х, 0 < х < х, где х - текущее Положение солитона. Поскольку
амплитуда отраженного потока оказывается порядка О (os), в этом
вычислении мы можем пренебречь различием между реальной траекторией
солитона и 0+=0. Кроме того, ti-(x, t) и U-(x, t) удовлетворяют линейным
уравнениям
Т1_/ + (Du_)x = 0, (3.123а)
u_t + r\_x = 0 (3.123b)
(см. (2.11), (2.12)) в треугольной области плоскости (х, t), изображенной
на рис. 5. Пусть t+(x) - точка пересечения вертикальной
линии х = const и кривой 0+ = 0, a t-(x) - точка пере-
сечения этой прямой с характеристикой, идущей влево и проходящей через
текущее положение солитона (х, I). Тогда,
138 Глава 3
поскольку ^ D(x)u(x, t)dt не зависит от х в главном порядке
- оо
по е, то
-?¦ $ D (х)"_ (х, t) dt + D'l* (х) Г (х) и+ (х, t)dt = 0.
f_L (*) - ОО
(3.124)
Второй член в этом уравнении равен
1 П n-3Mw 4 DXD ttt,
где т =(8/3)%, поток массы идущего вправо потока, и не зависит от х.
Уравнение (3.124) означает, что (вспомним: dt+/dx = = l/л/Д dtjdx = -
1/л/й)
- D112 (х) и_ (х, t_) - Z)1/2 (х) м_ (х, t+) + Л_ {х, t_) + Л_ (*, *+) =
= - 4 чА°~" - ч- (*-(*¦ U) - ~ тчА^''".
где мы заменили (Du-)x с помощью (3.123а), Вычитая и добавляя Dl!2(x)u-
(x, ?+), имеем
D(x) и_ (х, t+) = ^D~UiDx% - (л_ + -yjDu_\_ +
+ :Тп(л_ + л/^и_)<+- (3.125)
Теперь мы можем выбрать х произвольно близким к х, н тогда В этом случае
(3.125) дает нам двоякую информацию. Во-первых, непосредственно за идущей
вправо компонентой
D(x)u. (х, t) =| лоD~mDx (3.126а)
и, во-вторых,
1Г(Л- + V^"_) = 0. (3.126b)
Поскольку те же рассуждения применимы вне зависимости от расположения
идущей вправо компоненты вдоль характеристики 0+ = О, мы получаем, что
и~(х, t) на 0+ = О определяется по (3.126а) и что (3.126Ь) верно во
всей треугольной области на
рис. 5. Небольшое вычисление с помощью (3.123) и (3.126Ь)
