Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 50

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 113 >> Следующая

удовлетворить условию сохранения потока массы в локальной форме:
ОО ОО
-?¦ \ q dQ= f А. \ qdQ. (3.120)
-оо -оо
Поскольку qc мало и меняется медленно, из (3.111) мы
g
ожидаем, что dqc/dx = - -j(Dx/D)qc, т. е. просто закон Грина: постоянство
DP!*qc вдоль правых характеристик 0 = - t +
I"
132
Глава 3
+ J dJt/D1'2. Следовательно, левая часть (3.120) равна (введем
г-^djd)
¦k )".л+?(**=Ч-т)+1г*<9> + !^-',в-
- ОО 0 О
= 4ч(-T-) + V(-^)-rS"."e-
= - г ^ qsdQ - T^qcdQ,
- оо О
т. е. правой части. Отметим решающую роль второго члена - (4/3)туГ,
возникающего вследствие неадиабатичности потока (область, занимаемая qc,
0 < 0 < 0, меняется не медленно). И действительно, по локальному дефициту
потока массы можно вычислить начальную амплитуду шельфа ("начальная"
означает амплитуду после его возникновения непосредственно за уединенной
волной); таким образом, вместо того чтобы проверять формулу (3.120), мы
можем воспользоваться ею для нахождения <7с(0).
Метод обратной задачи силен с теоретической точки зрения тем, что он
переводит возмущенное уравнение в правильные координаты. В сущности он
разрешает основную трудность прямого метода - как разделить переменные в
(3.115). Базис, по которому следует разлагать qW-это (3.105). В этом
базисе (3.115) автоматически разделяется вне зависимости от степени
сложности <7(О>(0, т)П Более того, формулы, получающиеся для зависимости
от времени коэффициентов разложения qW по этому базису, а именно
порождаемые возмущением вариаций Ь*/а, 5* и р*, - это в точности те же
формулы, которые получаются разложением (3.99) - (3.101) в ряд теории
возмущений с 8-д/дт, qx={q%)i'+{q-x)p ' {(qx)i -это "интегрируемая часть"
(3.111), а (qx)p - это часть, связанная с возмущением). Квадраты
собственных функций аппроксимируются односолитонными выражениями.
Этот метод, однако, слаб в практическом аспекте. Ясно, что на больших
расстояниях порождаются новые компоненты потока (которые порядка О (о),
однако несут 0(1) потока массы). Поэтому приближение односолитонными
собственными функциями неприменимо на больших временах. Причина состоит в
сингулярности поправок к собственным функциям при ? = 0. Тем
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
133
не менее в (3.100) можно пользоваться таким приближением на больших
временах. Однако, несмотря на эти слабости, подход, основанный на
обратной задаче, дает ключ к разрешению острых и принципиальных вопросов,
связанных с балансом потока массы, и уже только по этой причине
заслуживает высокой оценки. Сейчас я опишу подход, объединяющий
преимущества подходов (i) и (ii) и позволяющий успешно рассматривать
развитие шельфа солитона на больших расстояниях порядка О (о-1).
(iii) Разумное использование законов сохранения. Если знать все то, что
мы знаем, то это, оказывается, лучший метод. Мы знаем, что законы
сохранения точны. Используя закон сохранения энергии
оо оо
-JL $^е=-2Г \q*dQ, (3.121)
- оо - оо
а в действительности любой из остальных, мы, заменяя q на медленно
меняющуюся одиночную солитонную волну, приходим к (3.116b). Причина
правильности этой операции в том, что другие компоненты потока порядка О
(о) по амплитуде и не больше О (о-1) по длине. Поэтому единственная
сохраняющаяся плотность, в которую они дают вклад порядка единицы, - это
поток массы. Поправки к энергии и к высшим сохраняющимся величинам не
превосходят О (о). Все законы сохранения, начиная с энергии и выше, дают
одно и то же поведение т), а именно (3.116Ь). Теперь мы уже знаем, что
меняющаяся уединенная волна не может (вспомним, что Г = (9/4)DT/D < 0)
нести достаточную массу воды, чтобы удовлетворялся закон сохранения
со оо
5 qd%=-Y 5 qdQ (3.122)
- оо -оо
потока массы, и непосредственно за уединенной волной образуется шельф
амплитуды qc - -Г/Згу Мы можем вывести это следующим образом.
Предположим, что <7(8, т) состоит из уединенной волны <7s(0, т) с г],
медленно меняющимся в соответствии с (3.116Ь), и из компоненты <7С(0, т),
располагающейся между 0 = 0 и 0 = 0, т. е. текущим положением уединенной
волны. Поскольку qc медленно меняется по 0 и мало по амплитуде, его
эволюция по т определяется законом Грина, который при Г =(9/4) Dx/D дает,
что dqc/dx = -^Г<7С и что D9/iqc зависит только от 0 и Поэтому постоянно
вдоль идущих вправо характеристик. Теперь используем (3.122): (д/дх)
4г] + qc (б) 0Т -
(r)^Г(4г])( и поэтому <7с(0) = -Г/Згу Чтобы получить <7С(0, т)
134 Глава 3
везде, посмотрим на рис. 4. Мы знаем, что D9/iqc(Q, т) постоянно вдоль
траектории 0 = const. Поэтому проследуем вдоль идущей вправо
характеристики, проходящей через 0 и т, обратно вплоть до ее пересечения
с траекторией солитона. В этой точке мы знаем qc и, следовательно,
пЭ/4 \
Qc (9, Х) = ?9/4 '
где qc задается как функция 0 интегрированием и обращением формулы
траектории солитона
0t = 4л2.
Для конкретности рассмотрим пример. Пусть -(9/4)DX/D = а, т. е,
постоянно. Тогда
Л = г\0е2/зах,
Семейства солитонных уравнений и методы нх решения 135
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed