Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в одноволиовом приближении, да ~ j Z>3/4(x) U+ (х, t) dt.
-оо
В упражнениях есть несколько примеров, на которых вы можете себя
проверить.
(i) Прямой метод. Самое простое, что приходит в голову,- это искать
решение (3.111) в виде
7(6, т)=--7"" + <x7<i)+ ..., (3.113)
где предполагается, что 7(0> имеет вид солитона (3.112) с той разницей,
что т), параметр амплитуды, является медленно меняющейся функцией х
('П=='П(^)> Т - ох), а соответствующая фазовая скорость равна
0т = 4т)2 + О (а). (3.114)
Исходя из этого, естественно использовать систему координат, движущуюся
вместе с солитоном (| = 0 - 0, s = t), в которой уравнение для q<!> имеет
вид q(i) _ 4Щ) + ^(0 + Qq(0)qO) + QqmqO) = _ у/афо) _ ^(О). (3.115)
Как видим, при 7(О)(0, *) общего вида решить (3.115) довольно трудно,
поскольку неясно, как можно разделить переменные (метод (И) автоматически
приводит к такому разделению). Однако в данном случае, когда q(0) зависит
только от решение возможно. Если мы ищем qW, зависящее только от но не от
s, тогда условие разделимости (3.115) сводится к требованию
ортогональности правой части решению сопряженного уравнения LAV = -V'ijj
+ WVj - = 0, убывающего при
|->+оо. Единственным кандидатом является само q(°\ Поэтому мы потребуем,
чтобы
ОО ОО
JL J 7(0>-'rf0 = -_-^L J qWde, (3.116а)
- ОО - ОО
откуда
r,t = --|rr,. (3.116b)
5 А. Ньюэлл
130 Глава 3
Если не требовать (3.116а) и допустить зависимость qd) от s, то тогда оно
будет линейно расти по s, и на больших расстояниях порядка s = t=0(1/c)
будет нарушаться равномерность
асимптотического разложения (3.113).
Теперь найдем q(l):
<7(|) = -gjj- (- 1 + th + sech2 (3 - 3tj? th + 2ц1 -
- 2 ц%2 th тф) + у (1 - th тф sech2 ifc.
Отметим, что при ?->+оо, однако в хвосте уединенной
волны, ?-"-с",
"">---55-. (З.П7)
т. е. равно ненулевой (почти) константе. Увы! Ряд (3.113) сходится
неравномерно в хвосте уединенной волны. Этот факт был впервые открыт и
подтвержден численными расчетами Лейбови-чем и Рэнделлом [82].
Однако впереди еще худшее. Проверим точный закон сохранения,
оо оо
5 <7(0)de = -r 5 <7(0)40, (3.118)
- оо - оо
что представляет собой запись закона сохранения потока массы т=^ D9!iq dQ
для движущегося вправо потока. (Я буду пользоваться строчным т, чтобы
отличить его от истинного потока массы М в полной двухволновой задаче,
допускающей движения как вправо, так и влево.) Если q близко к qi°\ то
левая часть
(3.118) равна (д/дх) (4tj) = 4tj (-Т^)' в т0 вРемя как пРавая
часть равна -Г(4п). Поэтому (пусть Г < О, D уменьшается) из
дополнительной массы жидкости, накопляемой в области меняющейся глубины,
только 2/3 идет на рост уединенной волны. Куда девается остальное?
В то время как трудности, связанные с (3.117), были замечены при
использовании прямого метода, только что описанная трудность оказалась
незамеченной.
(И) Использование обратной задачи рассеяния. Как преодолеть две эти
трудности? В 1976 г. Дэвид Кауп и я вновь обратились к этой задаче с
точки зрения теории рассеяния. Идея состояла в том, что в этой задаче
естественнее всего изучать эф-
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
131
фекты возмущения, преобразовав возмущенные уравнения к переменным
действие - угол или нормальным модам точно решаемой системы. Кауп [73]
еще раньше показал, как выписывать эти уравнения для возмущенного НУШ. В
этом подходе мы прямо приходим к (3.99), (3.100) и (3.101). Вспомним, что
если бq или qt эволюционирует в соответствии с любым уравнением из КдФ-
иерархии, например (КдФ)з, как в (3.52), то все интегралы вычисляются и
соответственно дают 8it?b*/a, 0 и 8it,\b*/a. Для вычисления эффекта от
возмущения -Г<7 используем для q главный порядок - односолитонное решение
- и вычислим соответствующие квадраты собственных функций. Для чисто
односолитонного решения мы знаем из (3.110), что (?i = ni) q = -
4у^1ф2(д:, l^), и поэтому (3.100) приобретает вид = = Й1т = -(2/3) ?Гт|,
что в точности дает (3.116Ь). Когда мы использовали (3.99) для вычисления
возмущений непрерывного спектра (напомним, что при т = 0 Ь*/а = 0), мы
получили, что сингулярный вклад в окрестности ? = 0 приводит к появлению
нового поля qc, которое для малых расстояний имеет вид
f --5Г-. 0 < 0 < 0,
7с (0. T) = j 3,1 (3.119)
I 0 в других случаях.
Таким образом, образуется шельф, располагающийся между текущим положением
солитона 0 и 0 = 0. В исходных координатах он находится между уединенной
волной и местом, до которого может распространяться наиболее длинная
волна, выходящая из точки начала изменения глубины. Он в точности имеет
величину той части q<-l\ а именно (3.117), которая не убывает при ?-"-оо.
Это тот шельф, который обнаружили Лейбович и Рэнделл, однако они не
осознали, в каком смысле он имеет конечную протяженность. Хотя шельф
медленно меняется по амплитуде, его протяженность меняется со скоростью
порядка единицы. Это означает, что отклик решения на медленное изменение
глубины не является чисто адиабатическим! И именно этот факт позволил нам
