Теоретические основы оптико-электронных приборов - Мирошников М.М.
Скачать (прямая ссылка):
К (х, у, ?) = АВ (х, у) АВ (х + |, у 4 ?),
ДВ {х, у) = В (х, у) — В {х, у),
АВ (х + 1, у + ?) = В {х + 1 ,y+Q — B(x+l,y+ С).
523
Следовательно, можно найти
К (дг, у, I, а = j j А в (Д-, у) ДВ (Л- -I- I, у | о
X ф[В(х, у), В{х I I, у \ 'Q\dB(x, (j)dB(x I I, у I t),
т. e. для вычисления функции автокорреляции в общем случае нужно знать закон совместного распределения плотности вероятностей функции В (х, у) в точках (х, у) и (л; -|- |, у -|- ?,), равный ф [Ь (х, у), В (х + 1, у + ?)]¦
Если функция В (х, у) стационарна, го средние значения ее одинаковы во всех точках пространства. Кроме того, в этом случае функция автокорреляции не зависит от координат х и у, так как статистические свойства случайной функции В (х, у) везде одинаковы, т. е.
Будем считать также, что действует условие эргодичности, т. е. статистические средние по ансамблю равны средним по координатам. Тогда двумерная функция автокорреляции определи ется выражением
К (I, С) = Пт ~2^2У I I (х' tJ^ ^ ^ 11 ^ ^с1х 1*У'
Функцию автокорреляции можно выразить через спектры Фурье функций В (х, у) и В (х + у -|- ?). Так как
К (дг, у% 6, С) = К (6, Q - l\B (х, у)АВ(х + 1,у-1- ?),
А В (х, у) = В (ху у) — В,
(х -1- с, у + I) = В (х -| 1, у -h ?) ~ В,
В == В (х. /у) — В (х -Ь // 4- ?).
1-Л +к
К ->оо
-А' — Y
АВ(х, //) = J | В (v , и ) е/Лтт (v л 1 ,l !>) dv d\i ;
то
524
причем
+х
lim [ e711 1A dx — 6 (v v ),
X->oo _JX
I v
lim f е'<ИЮ y di) = б (|x -f- p/).
K->ou _JK
Поскольку дельта-функция 6 (v + v') Ф 0 только при v — —v', дельта-функция 6 (p, + p,') =f= 0 только при p, = —р/, a В (v', p') = В (—v, — p) = В* (v, p), то пользуясь фильтрующим свойством дельта-функций, можно найти
-j оо
к«.а~П
— оо
Величину
ж-i / Ч . • I В (V, Lt) |г
Ед (v, р) = lim L;x2y
Y ->оо
называют энергетическим спектром или спектром Хинчина— Винера пространственного распределения яркости поля излучения. Следовательно,
+ СО
К (|, 1) — J J Ев (у, и) е/2л (v^ dv dii,
—оо
т. е. функция автокорреляции представляет собой обратное преобразование Фурье от функции Ек (v, р,).
Справедливо и прямое преобразование
-| СО
Е/; (v, р) — j j К (|, Q е /2л I мР dt dt.
— со
При ? = ? = 0 функция автокорреляции равна дисперсии случайной функции, т. е. К (0, 0) = 1ДВ (л;, у)]2.
Дисперсия определяется равенством
-j- оо
[ЛЯ (х, у)]2 = j j Ев (v, р) dv da,
—- оо
или
____________ + х + Y
[АВ(х, //)12 = lim j j |AB(x, //)!" dxdi/,
vlZ-x
где AB (.x, у) = В (x, у) — B.
525
lim
X^-oo Y >CO
в (V, n)
2X2 Y
ti (Л’6 1 dvdp.
Если функция автокорреляции может быть представлена как произведение функций, зависящих от разных аргументов, то и спектр Хинчина—Винера будет равен произведению спектров, зависящих от соответствующих аргументов. Например, если
К (?, о = ^(5) К. (9,
то
E/i (v, р) = ElB (v) Е2в (р).
В случае изотропного поля, когда функция автокорреляции имеет вид
К(1, 0 = К(5* + ?«) = К(р), спектр также будет изотропным, зависящим от одной частоты
х == ]/ v24-p2.
Величины, характеризующие случайное распределение яркости по полю излучения, измеряются в следующих единицах: В (я) в Вт/(см2-ср); К (|) в [Вт/(см2-ср) J2; Ев (v) в [Вт/(см2 «ср)Г2-рад, если 1 измеряется в рад, или в [Вт/(см2 «ср)]2-см, если | измеряется в см; В (х, у)— в 1Вт/(см2*ср)]; К (|, ?) — в [Вт/(см2х X ср)]2; Ев (v, р)— в [Вт/(см2*ср)]2-рад2 или в [Вт/(см2х X ср) ]2 - см2.
Зная пространственные спектры Хинчина—Винера, можно определить соответствующие временные спектры, получающиеся при движении оптической оси прибора вдоль некоторой линии наблюдения; яркость вдоль каждой меняется случайным образом.
Если А В (а:) есть одномерная случайная функция распределения флуктуаций яркости, то при равномерном движении вдоль оси х со скоростью v будем получать функцию А Вг (t) = А В (vt). Функция автокорреляции в этом случае равна
К, (т) = АВ± (t) А Вх (t + т) — АВ (vt) А В [v (t + т)] =
= А В (х) АВ (х -j- vx) — К (их),
а энергетический спектр
-J-00
?«,(/)= J К,(т)е
--ОО
Воспользовавшись подстановкой vt — |, найдем
+ оо -J- оо
Е1В(/)= J К(ит)е-/2л/т^х = J_ J к (%)e-i'2*(f/vndl,
— оо —со
следовательно,
E1Btf)=-JrEB(ir).
52G
Таким образом, чтобы найти спектр шума фона на входе системы с малым полем зрения, нужно знать пространственный спектр Efi (v). Заменив аргумент v на f/v и разделив Ев (v) на скорость движения, мы получим искомый временной спектр Хинчина— Винера для шума фона.
При решении практических задач, связанных с вычислением спектра шума, вырабатываемого приемником излучения при сканировании им неоднородного фона, приходится учитывать распределение чувствительности по полю зрения оптической системы.
Освещенность в произвольной точке х, у плоскости изображения связана с яркостью произвольной точки хх, ух известным соотношением
+°°
Е (*, У) =¦ яТ0 sin2 и' j J В (хх, у у) h (х — хх, у — ух) с1хл dyv
— оо
где h (х — хх, у — ух) — функция рассеяния изопланарной системы. Если освещенность Е (х, у) оказывается зависящей от времени вследствие сканирования вдоль оси х со скоростью v, т. е.
