Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
не читает, то и не удивительно, что эта теорема была заново "открыта"
другими лицами, в частности Ж. Ван Лёвен в ее диссертации, в Лейдене, 8
лет спустя. Однако из-за быстрого и существенного развития квантовой
теории теорема Бора - Ван Лёвен тогда не была повсеместно признана
поворотной вехой, пока на это не указал Ван-Флек в 1932 г. [28] 1).
Теорема Бора - Ван Лёвен относится к любой системе классических
нерелятивистских электронов и может быть сформулирована в виде следующего
веского утверждения.
При любой конечной температуре и при любом конечном электрическом или
магнитном поле истинная намагниченность системы электронов в тепловом
равновесии равна нулю.
Эта теорема, естественно, означала конец классической фазы теории
магнетизма и начало царствования квантовой теории. Теперь мы ее докажем.
Согласно распределению Максвелла-Больцмана, вероятность того, что п-я
частица имеет импульс рп и координату г", равна
dP{Pi, .. ., pN; Г! гл-) =
= exp [ - г*)] dpi .. . drN, (21)
г) Суммируя следствия этой теоремы, Ван-Флек саркастически замечает:
"...с другой стороны, когда пытаются применить классическую статистику к
движению электронов внутри атома, чем меньше слов, тем лучше>>.
ОТРЕЧЕНИЕ ОТ КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
41
где к-постоянная Больцмана; Т-температура; SB - функция Гамильтона,
полная энергия системы. Тогда термодинамическое среднее (ТА) любой
функцииF (р4, . . .; . . .,tn) этих обобщенных координат просто равно
\ FdP
<22>
где интегрирование выполнено по всем обобщенным координатам или по всему
фазовому пространству.
Рассмотрим теперь общее решение уравнения Максвелла (8), определяющее
магнитное поле через текущие токи. Поскольку плотность тока, созданного
движением единичного заряда еп, есть jn = еп\п, то общее решение
уравнения (8) становится
N
Н(г) = 2^, (23)
Clin
п~\
где Rn = г - гп. (Это известный закон Био - Савара.)
Появившаяся величина vn X Rn тесно связана с моментом количества
движения, о котором будет рассказано в гл. 3.
Если мы хотим вычислить магнитное поле, вызванное движением зарядов в
данном теле, то достаточно вычислить термодинамическое среднее Н (г) по
термодинамическому ансамблю dP, характерному для этого тела. Для этого
необходимо кое-что знать относительно функции Гамильтона SB для частицы в
электрическом и магнитном полях. Если магнитные поля отсутствуют, то
SB = 2 у m'lV" + U (Г1' ¦ ¦ ¦ > г^)' (24)
П
где vn = Vnlmn = drjdt. Выражение (24) есть просто следствие уравнений
Лагранжа, причем первый член - кинетическая энергия движения, а второй
член - потенциальная энергия, вызванная взаимодействием частиц между
собой и с любым полем сил, не обязательно сводящимся к закону Кулона. Из
уравнения Максвелла (6) мы видим, что второй закон Ньютона епЕ = р"
допускает форму, в которой силы можно вычислить из потенциалов, если
включить магнитное поле, подставив Pn ^ Pn + enA (гп, t)lc.
Действительно, это правильно, и соответствующее значение скорости для
частицы при учете векторного потенциала есть
тппУп = Рп + -у- А (г", t), (25)
что более убедительно показано в любом современном учебнике лагранжевой
механики [29]. Используя эту формулу в выражении
42
1. ТЕОРИЯ МАГНЕТИЗМА И ЕЕ ИСТОРИЯ
(24) для SB, получаем гамильтониан в рассматриваемом случае. Этим мы
заканчиваем предварительное рассмотрение.
Предполагается, что приложенное к телу магнитное поле описывается
векторным потенциалом А (г, t) и результирующая намагниченность дает в
свою очередь магнитное поле Н (г) в соответствии с (23). Можно вычислить
термодинамическое среднее значение этого поля и рассмотреть три
возможности.
1. (Н)та имеет конечное значение, не зависящее от А в пределе А -> 0. В
этом случае вещество, очевидно, ферромагнетик.
2. (Н)тл параллельно приложенному магнитному полю V х А, но его величина
пропорциональна приложенному полю и исчезает, когда последнее
выключается. Это характерно для парамагнитных веществ.
3. (Н)тл пропорционально, но антипараллелъно приложенному полю. Такие
вещества отталкиваются магнитным полюсом и являются диамагнитными.
Настоящие вычисления чрезвычайно просты. В вычислении термодинамического
среднего Н (г) мы замечаем, что удобными переменными в интегрировании
являются v", а не р". Преобразование переменных в интегралах,
фигурирующих в определении (22), сводится в этом случае к переходу от рп
к \п; согласно обычным правилам для преобразования переменных
подынтегральное выражение надо разделить на якобиан перехода
(tm)-п dvn дРт
Как видно, якобиан равен единице и, следовательно, А (г, ?) просто
исчезает из интегралов, как из множителя Максвелла - Больцмана, так и из
величины Н (г). И наконец, искомое термодинамическое среднее обращается в
нуль, ибо Н (г) меняет знак при замене vn ->¦ - \п.
Таким образом, вычисления показывают, что ток и магнитный момент,
индуцированные внешним полем, в классической статистической механике
исчезают.
Вычисления, следовательно, подтвердили, что классическая статистическая
