Теория искры - Лозанский Э.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2.1. Кинетическое уравнение для электронов, движущихся в постоянном однородном электрическом поле
Кинетическое уравнение Больцмана для функции распределения электронов по скоростям f (v, /) имеет вид [1, 2]:
5+ -^-(EVv/)+ S = 0, (2.1)
Ot т
где е и т—заряд и масса электрона; E — электрическое поле, приложенное к разрядному промежутку; Vv — оператор градиента, действующий на координаты электрона в пространстве скоростей; S — интеграл столкновений:
S = IlNdvliIQua (и, a) [/(v) F (V1)-/ (v') F (*[)]; (2.2)
F (vi) — нормированная на единицу функция распределения частиц газа, с которыми сталкиваются электроны; N — концентрация этих частиц; и = | v — V11; а (м, а) — сечение столкновения электрона и частицы с рассеянием на угол a; v' и — скорости электрона и частицы до соударения; v и V1 — скорости электрона и частицы после соударения; d?l = sin adady] а— угол между векторами (v — V1) и (v' — v(). В принципе в уравнение надо добавить члены, описывающие рекомбинацию и ионизацию электронным ударом, однако они обычно не оказывают влияния на функцию распределения, а лишь определяют концентрацию электронов в плазме.
Отметим, что уравнение (2.1) применимо, если выполняются следующие два условия:
I) SiN1J3 « 67Y, 2) H2N2J3Im « kTe,
где Ne— концентрация электронов; Te— их температура. Первое условие означает, что средняя потенциальная энергия взаимодействия на один электрон много меньше его средней энергии (условие идеальности плазмы), а второе является условием невырожденности плазмы [1]. В газовом разряде оба эти условия обычно реализуются. В общем случае интеграл столкновений описывает упругие и неупругие столкновения электронов с молекулами и ионами, а также столкновения электронов между собой. Здесь мы рассмотрим случай слабоионизоЪанной плазмы, когда существенны только столкнове-
76
ния электронов с нейтралами, причем сначала учтем только упругие соударения.
При каждом отдельном столкновении электрона с молекулой его энергия, или модуль скорости, меняется незначительно (даже для водорода отношение масс электрона и атома т/М ~ 5 • IO-4), тогда как направление вектора скорости может меняться сильно. Вследствие этого функция распределения электронов в пространстве скоростей близка к сферически-симметричной, т. е. слабо зависит от направления скорости. Это позволяет искать решение уравнения (2.1) в виде разложения по полиномам Лежандра:
/(V, о== ІІ Zft(M)Pft(Cose). (2.3)
? = 0
где 0 — угол между векторами v и Е. Обычно ограничиваются первыми двумя членами разложения, так как остальные очень малы и к тому же благодаря ортогональности полиномов Лежандра они не входят в окончательные выражения для интересующих нас характеристик. Итак,
/ (v, t) = /о (V, /) + Д (V1 і) cos 0. (2.4)
Запишем также скалярное произведение (ЕVv/) в цилиндрических координатах, где ось г выбрана вдоль направления поля Е:
(Е Vv f) = E cos Є — + ? sin2 9 • (2.5)
' " dv V д (cos 0) v
Для установившегося процесса, т. е. в стационарном случае, уравнение (2.1) теперь примет вид
Y [cos 6 — + gjgfj _ df l + s = o (2.6)
rL dv v д (cos 0)J v
где у = eElm.
Как следует из выражения (2.2), интеграл столкновений является линейным оператором относительно f (v), т. е.
S (f) = S (J0) + S (J1 cos 0). (2.7)
В рассматриваемом случае упругих соударений при предположениях, что скорость атома мало меняется при столкновении с электроном, V1 = v', изменением модуля вектора скорости электрона в акте соударения можно пренебречь по сравнению с самим модулем, v = = v', и скорость электрона много больше скорости атома, v > Vu получаются выражения для S (/0) и S (J1 cos 0):
5 (f0) = — — kT — . — Iv3 vy (А +— . ^ )] , (2.8)
M V2 dv L \kT mv dv )\
S (fx cos 0) = vy (a) cos 0, (2.9)
где Vy = NVGy — частота упругих столкновений электронов с нейтралами; N — концентрация нейтралов; а* — диффузионное се-
чение упругих столкновений; T — температура газа.
77
Если теперь подставить в уравнение (2.6) выражение (2.4), умножить обе части уравнения сначала на sin 0 и проинтегрировать по
0, а затем умножить на cos 0 sin 0 и также проинтегрировать по 0, то в результате получим два уравнения:
JL _
3 ' dv 3t>
— —kT — -U3Vyf- + ---)1 = 0; (2.10)
M V2 dv [ y \kT mv dv J \
h = ( — ylvy) {dfo/dv). (2.11)
Эта система легко решается:
/0 = Сехр{- Г -imJE ); (2.12)
*• # 67 +v2M/3vy I
(2.13)
vy kT + y*MI 3vy Константу С можно определить из условия нормировки
§/(v)dv= $[fo(f) + fi (v) cos 0] dv = \f9(v)dv=l, (2.14)
так как j Д (у) cos 0dv = 0.
Оценим отношение fjf0, т. e. проверим справедливость разложения (2.4). Из выражений (2.12) и (2.13) получаем
/і
/о
ymv
(2.15)
Vy (kT -t~Y2M/3vy) ’
Это отношение оказывается функцией поля. Легко показать, что
максимум этой функции достигается при у — |3vy kTIM. Под-
ставляя это значение у в отношение (2.15) и заменяя для оценки v на VkT/т, получаем
|Д//оІ ~ (тІМуі\ (2.16)
Следовательно, использованное приближение справедливо. В -случае слабых полей, когда выполняется условие
