Теория искры - Лозанский Э.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Y2AT/3v? « kT, (2.17)
из выражения (2.12) следует
/о = С exp (— rm?l2kT), (2.18)
т. е. получаем распределение Максвелла. При этом
'¦ = (219>
В противоположном случае сильных полей, когда y2M/3v* > kT,
78
членом kT в выражении (2.12) можно пренебречь, и получаем
(2.20)
Драйвестейн [3], рассматривая данное уравнение и полагая, Что Vy = v/X, причем A, = const, получил
'•=Сяр{-т-;ггШ1' (2'21)
где А, — длина свободного пробега электрона. Соответственно
/, = ЗС — — ехр(—
M уХ \ 4 M \у!
(2.22)
Однако формулы (2.21) и {2.22) имеют ограниченную применимость, так как при сильных полях начинаются неупругие процессы, которые здесь не учтены. Кроме того, использованное приближение независимости длины свободного пробега X от скорости является довольно грубым.
На рис. 2.1 показаны распределения Максвелла и Драй-вестейна, нормированные к одной и той же средней энер-4 гии электронов є и одинаковому числу электронов. Так как распределение Драйвестейна содержит в показателе экспоненты а4, а распределение Максвелла v2, то на «хвосте» функция Драйвестейна убывает быстрее. Это очень важный вывод, так как в процессах возбуждения и ионизации в газовом разряде главную роль играет именно «хвост» распределения.
Рис. 2.1. Распределения Максвелла }м и Драйвестейна fD электронов по энергии; кривые нормированы к одной и той же средней энергии электронов
2.2. Кинетическое уравнение с учетом неупругих процессов
Рассмотрим двухатомный газ. В этом случае электроны даже в слабом поле могут возбуждать колебательные и вращательные уровни, энергия которых невелика. Так, энергия вращательных уровней ~ 10~2— 10“4 эв, а колебательных ~ 0,1—0,05 эв.
В молекулярной плазме водорода, кислорода, азота, воздуха и т. п. при средней энергии электронов ~ 1 эв основную роль играют потери энергии на возбуждение колебательных и вращательных уровней. Так как при этом доля энергии, теряемая электроном при
79
неупругом столкновении, мала, то интеграл столкновений будет иметь тот же вид (2.8), однако в нем следует заменить долю энергии, теряемой электроном при упругом столкновении, 2т! M на доЛю, теряемую как при упругих, так и неупругих столкновениях. Например при возбуждении колебательных уровней интеграл столкновений
(2.23)
где ft со — средняя энергия возбуждения колебательного уровня; Vh — суммарная частота соответствующих неупругих соударений. При этом изменяется и функция распределения. Так, в сильном поле вместо выражения (2.12) имеем
tnvdv
fo~ С exp
¦ f М{ еЕ ) О 3V mvy /
I -U- V—
т Vy * mi
(2.24)
При vH-^0 (2.24) переходит в (2.12).
Рассмотрим теперь одноатомный газ. В этом случае неупругие потери энергии возникают при возбуждении электронных состояний атомов или ионизации. Будем считать, что средняя энергия электронов много меньше энергии возбужденных состояний. В этом случае свободных электронов, способных возбуждать или ионизировать атом, мало, причем электрон, претерпевший неупругое соударение, теряет практически всю энергию. Это позволяет развить следующий подход к нахождению функции распределения. Будем решать кинетическое уравнение в двух областях: v > Vp и v <. Vpy где Vp — скорость электронов, соответствующая началу неупругих потерь энергии. Кинетическое уравнение в области v ^ Vp имеет вид [4, 5]:
у [cos 8+ — sin2 9 ^--1+5= —vH/, (2.25)
L dv V д (cos 0)J
где vH — частота неупругих столкновений; член в правой части появляется вследствие выбывания электронов из области v > Vp после неупругого столкновения; S — интеграл столкновений, учитывающий упругие столкновения. Решение уравнения (2.25) ищем также в виде
/ (О, 0) = /о (V) + л (у) cos 0 + ... (2.26)
Повторяя процедуру, описанную выше, получаем два уравнения:
/; + -/i + /о = 0; Y/; = -Vy /х, (2.27)
V у
в которых учтено, что Vy > vH и отброшены члены порядка т/М.
Для решения системы уравнений (2.26), (2.27) необходимо знать зависимость Vy и vH от v, причем достаточно определить поведение
80
частот вблизи порога возбуждения. Так как из приведенных выше рассуждений следует быстрое убывание функции распределения при
V > ар, то аппроксимация частот столкновений далеко от порога будет являться превышением точности расчета.
Поскольку общих зависимостей Vy (а) и Vh (у) не существует, дальнейшее решение должно быть проведено для каждого газа в отдельности. Например, для гелия, как следует из экспериментов в работе [6], vy вблизи V = Vp от скорости не зависит, a vH (а) можно аппроксимировать линейной функцией
где Kh — константа, которую определяют из эксперимента.
Подставляя в уравнения (2.27) vy = const и vH в виде (2.28)* получаем решение кинетического уравнения в виде
Член в правой части появляется вследствие переходов электронов-из области V > Vp после неупругого столкновения, причем по закону сохранения энергии
В работе [4] предполагалось Vi = Vpi что означало переход электронов в состояние са = 0. Это, в свою очередь, приводило к расходимости функции распределения в точке v = 0. С использованием выражения (2.33) эта расходимость устраняется.