Теория искры - Лозанский Э.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ne (г, 0) = Ne0 (г) (2.51)
решение уравнения (2.48) можно получить из соотношения
Ne (г, t) = (4nDt)~3/2 j1 ЛГе0(г')ехр[ — (г—r')2/(4?^)]dr'. (2.52)
При включении электрического поля на хаотическое движение электронов накладывается также некоторое упорядоченное движение в направлении, противоположном направлению электрического поля Е. За время между двумя столкновениями электрон получает от поля энергию
Ae = еЕХ, (2.53)
где е — заряд электрона; К — длина свободного пробега электрона.
При упругом столкновении с нейтральной молекулой электрон от-
дает ей небольшую часть своей энергии порядка 2т/M (т — масса электрона; M — масса молекулы).
Пока напряженность электрического поля мала, дополнительная скорость в направлении, противоположном Е, гораздо меньше средней скорости хаотического движения, которую в этом случае можно оценить из формулы кинетической теории газов V ~ Y kT/т, где T — абсолютная температура; k — постоянная Больцмана. Происходит как бы медленный снос частиц в направлении (— Е), т. е. по существу возникает стационарный поток электронов с плотностью
J = NeU9 (2.54)
где и — средний вектор направленной, или, как ее называют, дрейфовой, скорости.
84
Подвижность частицы
Ъ = и/E. (2.55)
Выясним связь подвижности с коэффициентом диффузии. В принципе движение частиц в направлении диффузии может быть прекра-
щено электрическим полем Е. Действительно, полный ток при наличии поля
j = Ne u -DVNe (2.56)
может быть равен нулю, если
NeW = DVNe. (2.57)
Во внешнем поле распределение частиц по потенциальным энергиям дается формулой Больцмана
Ne= Neo ехр ( — 8p/kT), (2.58)
где 8Р — потенциальная энергия электрона во внешнем поле.
Следовательно,
VNe=-Vep = JM. = IMl (2.59)
kT Р kT kT
Здесь использовано то, что сила F = еЕ = — Vep. Подставляя
соотношение (2.59) в (2.57) и заменяя и на bЕ, получаем
Ь = eD/kT. (2.60)
Формула (2.60) называется соотношением Эйнштейна.
Если электрическое поле направить по оси z, то дрейфовую скорость электронов в общелґ случае можно получить из соотношения
u = < vz > = (vcos 0>, (2.61)
где усреднение производится по функции распределения электронов по скоростям, т. е.
Г V cos 0/ (v) dv
« = J------—-----. (2.62)
J7(v)dv
Подставляя сюда выражение (2.4) и учитывая условие нормировки
(2.14), получаем
И = Y J 0’Л (О) do, (2.63)
о
где/j (у) дается соотношением (2.13). Если считать, что Vy не зависит от скорости, то в результате интегрирования получаем
и = yhy. (2.64)
В слабых полях, когда средняя энергия электронов мала, зависимость (2.64) в некоторых газах нарушается вследствие эффекта Рамзауэра, заключающегося в уменьшении эффективного сечения
85
упругих столкновений при малых энергиях электронов. В этом случае нахождение функции распределения и дрейфовой скорости связано с соответствующей аппроксимацией частоты упругих столкновений.
Оценим, через какое время после включения электрического ПОЛЯ устанавливается равновесная дрейфовая скорость электрона. Для этого умножим кинетическое уравнение (2.1) на вектор v и проинтегрируем по dv:
.MHv= (2'65)
— Г DVv fdv = — — Г fdv = ——. (2.66)
т J т J т
Воспользовавшись соотношениями (2.7) и (2.9), находим, что j VSd\ = j* vS (/о) dv + J vS (Д cos 0) dv = J vy v cos Qf1 dv =
= f (2.67)
где n—единичный вектор нормали вдоль пол-я Е. Подставляя со-
отношения (2.65) — (2.67) в (2.1), получаем
4г-- + тК yzMv = °. (2.68)
dt т 3 J
Если по-прежнему считать, что Vy не зависит от скорости, то это уравнение можно переписать в виде
du/dt + vy« = еЕ/т = 7. (2.69)
Здесь все члены уравнения (2.68) спроектированы на направление Е, а также использовано равенство (2.63). Решение уравнения (2.69) с начальным условием и (0) = 0 есть
и = (v/vy) [I — exp (— VyOl. (2.70)
Следовательно, равновесная дрейфовая скорость устанавливается за время порядка l/vy.
. Теперь выясним время установления средней энергии электрона. Для этого умножим уравнение (2.1) на mv2/2 и проинтегрируем по dv:
[JEL.Kdv = ± = (2.71)
J 2 dt dt J 2 dt
— Г -25EL Vv fdv = — — f rnvfdv = — eEu; (2.72)
т J 2 tn J
jjflSdv = j*^-S(/0)dv = = —— kT Г — [u3vyf А- + — ..ЗЬЛІ4ЯО*Лі = 2M J du [ r \ kT mv dv J J
86
Пусть vy не зависит от V9 тогда последнее выражение можно переписать в виде
(2.74)
т kTvy Г
M yJ dv
т 3 т г kTv у.
M M У
U1 см/сек
10'
W
W'
\/
и, 105см/сек
10'* 10'3 W1 10~1 10° Е/р, 6/(см-мм рт. ст.) а
U1 IO6xCM/сек
O1B 1,6 2fi Е/р, в/(см-мм рт. ст.) 6
J9Z J9S
Рис. 2.2. Дрейфовая скорость электронов в гелии по данным работ [И—14] (а),
[15] (б, в)
2 5 10 20 50 Wd
Е/р, в/(см мм рт. ст.) в
Подставляя соотношения (2.71), (2.72) и (2.74) в (2.1), получаем d& , г, т - /-ч , 3 т
dt
¦ 2Vv- г = еЕи + -^- kTvv* 1M
M
(2.75)
Решение этого уравнения с начальным условием є (0) = 3&772 есть
~ 3 ,rj, . 1 еЕиМ
Є — — Kl —1----------------• ------------
